1 一个局部 $n$ 维欧几里得空间是一个Hausdorff空间 $M$ 满足，对每一个点 $p\in M$ ，存在一个 $p$ 的邻域 $U\subset M$ 和一个同胚 $\varphi:U\to V$ ,其中 $V$ 是一个 $\mathbb{R}^n$ 中的开集。这个同胚有时候被称为一个坐标、坐标映射等，而资料 $(U,\varphi)$ 被称为一个坐标卡。

坐标 $\varphi$ 经常写成分量形式， $\varphi=(x^1,\cdots,x^n)$ ，其中 $x^i:U\to \mathbb{R}$ .

2 局部欧几里得空间 $M$ 上的一个光滑微分结构 $\mathscr{F}$ 是这样一族坐标卡 $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$ ，满足： $\{U_\alpha\}$ 构成 $M$ 的开覆盖， $\varphi_\alpha\circ\varphi^{-1}_\beta|_{U_\alpha\cap U_\beta}$ 是光滑映射，后者被称为坐标卡的相容性条件。此外，如果有一个坐标卡 $(U,\varphi)$ 和每一个坐标卡都相容，那么可以推断出他在 $\mathscr{F}$ 中，这样的微分结构被称为极大微分结构。极大微分结构当然不一定是唯一的，不过我们不担心这个，因为我们往往是固定一个微分结构来研究流形的，下面假设出现的微分结构总是极大的。

3 一个 $n$ 维光滑流形 $(M,\mathscr{F})$ 是一个赋予了光滑微分结构 $\mathscr{F}$ 的第二可数的局部欧几里得空间 $M$ .

我们想要做一个范畴，现在已经有了对象，那么自然需要态射，态射被如下定义：

4 设 $(M,\mathscr{F})$ 和 $(N,\mathscr{G})$ 是两个光滑流形，连续函数 $f:M\to N$ 被称为一个光滑映射，如果 $\psi\circ f\circ \varphi^{-1}$ 是一个光滑函数对任意的 $\mathscr{F}$ 中的坐标卡 $(U,\varphi)$ 和 $\mathscr{G}$ 中的坐标卡 $(V,\psi)$ 成立。

这样，光滑流形就构成了一个范畴，其中态射是流形间的光滑映射。他是拓扑空间范畴的子范畴。

从此以后，我们对一个固定的流形 $(M,\mathscr{F})$ ，常常会略去他的微分结构，只写作 $M$ 。对于一个光滑流形 $M$ 的非空开子集 $U$ ，显然，他有继承自 $M$ 的一个拓扑结构和微分结构，所以 $U$ 也是一个光滑流形。很容易看到， $\mathbb{R}^n$ 是一个光滑流形，按照上面的结论，我们可以得到一类光滑流形， $\mathbb{R}^n$ 的开子集。比如把 $n\times n$ 矩阵放入 $\mathbb{R}^{n^2}$ 内，那么行列式不为零的那些矩阵就构成一个光滑流形，记作 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ ，称作一般线性群。

特别地， $\mathbb{R}$ 也是一个光滑流形。我们称光滑映射 $f:M\to \mathbb{R}$ 是一个 $M$ 上的光滑函数。光滑函数 $f$ 限制在 $U\subset M$ 上也是一个光滑函数 $f|_U$ .

5 设 $M$ 是一个光滑流形， $U\subset M$ 上的光滑函数的集合记作 $\mathcal{F}(U)$ ， $\mathcal{F}$ 被称为 $M$ 上的光滑函数层。由于可以逐点定义加法和乘法，所以 $\mathcal{F}(U)$ 拥有 $\mathbb{R}$ -代数结构。设 $p\in M$ ，我们定义如下等价关系：设 $U$ 和 $V$ 都是 $p$ 的邻域，以及 $f\in \mathcal{F}(U)$ 和 $g\in \mathcal{F}(V)$ ，如果在一个 $W\subset U\cap V$ 上， $f|_W=g|_W$ ，则 $f\sim g$ .所有这样的等价类记作 $\mathcal{F}_p$ ，称为 $p$ 处的光滑函数茎，他的代表元素可以写成 $f_p=\langle U,f\rangle$ ，称为芽. 显然 $\mathcal{F}_p$ 有继承自 $\mathcal{F}(U)$ 的自然的 $\mathbb{R}$ -代数结构。

设 $p\in M$ ，茎 $\mathcal{F}_p$ 是一个局部环。实际上， $\langle U,f\rangle \in \mathcal{F}_p$ 且 $f(p)= 0$ 的元素构成了 $\mathcal{F}_p$ 的一个理想。不在这个理想内的 $\langle U,f\rangle$ ，由于 $f(p)\neq 0$ ，那么适当缩小 $U$ 到 $V$ ，由 $f$ 的连续性，总可以找到 $V$ 使得 $f|_V$ 处处不为零，这样 $\langle V,1/f|_V\rangle$ 便是 $\langle U,f\rangle$ 的一个逆。因此上面这个理想即 $\mathcal{F}_p$ 唯一的极大理想，我们其记作 $\mathfrak{m}_p$ 。容易看到 $\mathcal{F}_p/\mathfrak{m}_p\cong \mathbb{R}$ ，实际上，对每一个芽 $f_p\in\mathcal{F}_p$ ，都成立 $f_p=f_p-f(p)+f(p)$ ，在 $\mathcal{F}_p/\mathfrak{m}_p$ 中看，他和 $f(p)\in\mathbb{R}$ 也就没区别了。

6 设 $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ 光滑，则 $$f(x)=f(0)+\partial_if(0)x^i+\frac{1}{2}g_{ij}(x)x^ix^j,$$ 其中 $g_{ij}$ 光滑。

为了证明这点，利用微积分基本定理 $$f(x)-f(0)=\int_0^1f'(tx)\mathrm{d} t=\int_0^1\partial_i f(tx)x^i\mathrm{d} t=h_i(x)x^i,$$ 可以得到 $h_i(0)=\partial_i f(0)$ ，然后再对 $h_i$ 使用上面的步骤即可得到我们想要的表达式。

7 引理：使用一个局部坐标 $\varphi=(x^1,\cdots,x^n)$ 且 $\varphi(p)=0$ ，可以将上面的引理翻译到流形上。设设 $f:U\to \mathbb{R}$ 光滑，则在 $p$ 的一个邻域 $V$ 上对任意的 $q\in V$ 成立 $$f(q)=f(p)+\frac{\partial f\circ \varphi^{-1}}{\partial x^i}(p)x^i(q)+\frac{1}{2}g_{ij}(q)x^i(q)x^j(q),$$ 其中 $g_{ij}$ 在 $V$ 上光滑，以后我们就将那个偏微分记作 $\partial_i f(p)$ .

8 设 $p\in M$ ， $M$ 上的光滑函数层为 $\mathcal{F}$ ， $p$ 处的余切空间被定义为 $T_pM^*:=\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2$ 。余切空间的元素被称为余切矢量。

$\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2$ 确实是一个矢量空间。首先它显然是一个 $\mathcal{F}_p$ -模，然后任取 $a\in \mathfrak{m}_p$ ，由于 $a\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2=0$ ，所以 $\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2$ 是一个 $\mathcal{F}_p/\mathfrak{m}_p$ -模，即 $\mathbb{R}$ -矢量空间。

9 设 $p\in M$ ， $M$ 是一个 $n$ 维流形，则 $T_pM^*:=\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2$ 是 $n$ 维的。

我们可以选取一组局部坐标来算维数，由于选取不同的局部坐标都是通过同胚联系的，所以不同的选取对维数没什么影响。由上面的引理，设 $f_p\in \mathfrak{m}_p$ ，则他可以写作 $$f_p=\partial_i f(p)x^i_p+\frac{1}{2}g_{ij}(q)x^i_px^j_p$$ 考虑一个局部坐标 $\varphi=(x^1,\cdots,x^n)$ ，设自然同态 $\mathrm{d}_p:\mathfrak{m}_p\to \mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2$ ，很简单就可以看到 $\mathrm{d}_p(x^i_p)\neq 0$ .实际上，如果 $x^i_p\in \mathfrak{m}_p^2$ ，那么 $x^i_p=rs$ ，其中 $r$ , $s\in \mathfrak{m}_p$ ，然后根据上面的引理 $r=a_ix^i_p+\cdots$ 以及 $s=b_ix^i_p+\cdots$ ，于是 $x^i=rs=a_jb_kx^j_px^k_p+\cdots$ ，但显然这是不可能的。

所以，如果 $f_p\in \mathfrak{m}_p$ ，则 \[\begin{equation} \label{c1:e1} \mathrm{d}_p(f_p)=\partial_i f(p)\mathrm{d}_p(x^i_p). \end{equation}\] 这样所有的 $T_pM^*=\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2$ 中的元素都可以由 $\mathrm{d}_p(x^i_p)$ 展开，他们都是非零的，而且容易证明是线性无关的，所以这是 $T_pM^*$ 的一组基，余切空间的维数计算完毕。

以后我们用 $\mathrm{d}_p(f)$ 乃至 $\mathrm{d}_pf$ 来记 $\mathrm{d}_p(f_p)$ 。实际上，我们可以将 $\mathrm{d}_p$ 定义在 $\mathcal{F}_p$ 上，设 $a$ 是一个常值芽，补充定义 $\mathrm{d}_pa=0$ ，可以看到，此时式\eqref{c1:e1}依旧满足。以后我们就这样来看 $\mathrm{d}_p:\mathcal{F}_p\to T_pM^*$ ，他被称为外微分算子。

10 设 $f:M\to N$ 是一个光滑映射，上面的光滑函数层分别为 $\mathcal{F}$ 和 $\mathcal{G}$ 。任取 $\varphi\in \mathcal{G}(V)$ ，可以通过 $f^*\varphi=\varphi\circ f$ 定义 $f^*\varphi\in \mathcal{F}(f^{-1}(V))$ .

下面我们考虑两个流形余切空间之间的映射。设 $\langle V,\varphi\rangle\in \mathcal{G}_{f(p)}$ ，于是 $\langle f^{-1}(V),\varphi\circ f\rangle\in \mathcal{F}_p$ ，所以 $f^*$ 诱导了一个 $\mathbb{R}$ -代数同态 $f^*_p:\mathcal{G}_{f(p)}\to \mathcal{F}_p$ ，特别地，可以看到 $f^*_p:\mathfrak{m}_{f(p)}\to \mathfrak{m}_{p}$ ，于是 $f^*_p:\mathfrak{m}^2_{f(p)}\to \mathfrak{m}^2_{p}$ .

11 设 $f:M\to N$ 是一个光滑映射，他诱导了一个线性映射（这里我们滥用一下记号） $f^*_p:T_{f(p)}N^*\to T_pM^*$ .

12 对于复合， $(f\circ g)^*_p=g^*_p\circ f^*_{g(p)}$ .很容易看到 $\mathrm{id}^*_p=\mathrm{id}_{T_pM^*}$ ，所以如果 $f:M\to N$ 是同胚，则 $f_p^*:T_{f(p)}N^*\to T_pM^*$ 是同构。

13 利用复合公式，设 $f:M\to N$ 是光滑映射，则 $f^*_p\bigl(\mathrm{d}_{f(p)}g\bigr)=\mathrm{d}_{p}(f^*g)=\mathrm{d}_p(g\circ f)$ .

14 设 $p\in M$ ， $M$ 是 $n$ 维光滑流形，则切空间 $T_pM$ 被定义为余切空间 $T_pM^*$ 的对偶空间。切空间的元素被称为切矢量。由于余切空间是有限维的，他的对偶空间也和他有着相同的维度，即 $n$ 维。

15 由于切空间是余切空间的对偶空间，所以他是余切空间上的线性函数构成的空间，反过来，由于是有限维的，所以可以认为对偶空间的对偶空间就是原本的空间，这就是说可以将余切空间的矢量看成切空间矢量的线性函数：设 $\mathrm{d}_p f\in T_pM^*$ 和 $v\in T_pM$ ，定义 $\mathrm{d}_p f(v):=v(\mathrm{d}_p f)$ .

虽然上面这些个定义都很短也很清楚，不过操作上却没有那么简单。下面，我们将一个切矢量扩张到 $\mathcal{F}_p^*$ 上面去。

16 设 $f$ 是在 $p$ 附近的光滑函数，而 $v\in T_pM$ ，可以通过 $D_v(f_p):=v(f_p-f(p))$ 定义线性映射 $i_p:l\mapsto i_p(v)=D_v\in \mathcal{F}_p^*$ ，他是一个单射。

注意到 $(fg)_p=f_pg_p$ ，所以 $$\begin{aligned} D_v(f_pg_p)&=v(f_pg_p-f(p)g(p))\\ &=l\bigl((f_p-f(p))(g_p-g(p))+f(p)(g_p-g(p))+(f_p-f(p))g(p)\bigr)\\ &=f(p)D_v(g_p)+D_v(f_p)g(p), \end{aligned}$$ 我们将满足这条性质的线性映射 $D_v\in \mathcal{F}_p^*$ 称为 $p$ 处的导子，所有 $p$ 处的导子构成的空间暂时记作 $V_p$ ，而他其实和 $T_pM$ 是同构的。

为了证明这点，任取导子 $D\in V_p$ ，由于 $D(1)=D(1\times 1)=2D(1)$ ，所以 $D(1)=0$ ，继而靠着 $D$ 的线性性，对于常值函数的芽 $a$ 来说， $D(a)=aD(1)=0$ 。因为每一个 $\mathcal{F}_p$ 中的元素 $f_p$ 都可以写成 $f_p-f(p)+f(p)$ 的形式，所以 $D(f_p)=D(f_p-f(p))$ ，这就是说，一个导子的性质完全由他在 $\mathfrak{m}_p$ 上的值决定，这种关系是一对一的。即 $\pi_p:D\mapsto D|_{\mathfrak{m}_p}$ 是一个线性同构。

同时，设 $f_p$ , $g_p\in \mathfrak{m}_p$ ，则 $\pi_p(D)(f_pg_p)=f(p)\pi_p(D)(g_p)+g(p)\pi_p(D)(f_p)=0$ ，于是 $\pi_p(D)(\mathfrak{m}_p^2)=0$ ，所以， $\pi_p(D)\in T_pM$ ，即 $D|_{\mathfrak{m}_p}$ 是一个切矢量，因此导子 $D$ 完全由一个切矢量 $D|_{\mathfrak{m}_p}=\pi_p(D)$ 决定。这样， $i_p:T_pM\to V_p$ 也是一个满射，所以他是一个同构。当然我们也可以直接计算验证 $\pi_p\circ i_p=\mathrm{id}_{T_pM}$ 以及 $i_p\circ \pi_p=\mathrm{id}_{V_p}$ 。

因为有这个同构，所以以后我们用 $T_pM$ 来标记导子构成的矢量空间，一个导子才是一个切矢量。这样的好处是，我们在具体计算的时候，可以直接在 $\mathcal{F}_p$ 上进行而非 $\mathfrak{m}_p$ 上，特别地，现在对于一个切向量 $v$ 来说，成立 $\mathrm{d}_pf(v)=v(f_p)$ ，这是因为对一个导子 $v$ 来说 $v(f_p)=v(\mathrm{d}_pf)$ .

17 设 $f:M\to N$ 是一个光滑映射，定义它在 $p\in M$ 处的导数为 $T_pf=f_{*p}:T_pM\to T_{f(p)}N$ 使得对任意的 $v\in T_p M$ 和任意的 $g_{f(p)}\in \mathfrak{m}_{f(p)}$ 成立 $(f_{*p}v)(g_{f(p)})=v(f_p^*g_{f(p)})$ .

为以后的处理方便，不妨通过等同 $\partial_i$ 和标准基 $e_i$ 来等同 $T_p\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{R}^n$ 。此外，通过坐标卡上的同胚 $\varphi$ ，我们用 $\partial_i$ 来标记 $\varphi^{-1}_{*p}(e_i)$ ，这显然是 $T_pM$ 处的一组基。

18 设 $f$ 是在 $p$ 附近的光滑函数，任取 $v\in T_pM$ .因为 $f_{*p}:T_pM\to T_{f(p)}\mathbb{R}=\mathbb{R}$ ，所以 $f_{*p}(v)$ 是一个数，故而 $$f_{*p}(v)=f_{*p}(v)(\mathrm{id}_{\mathbb{R}})=v\bigl((\mathrm{id}_{\mathbb{R}}\circ f)_p\bigr)=v(f_p)=\mathrm{d}_p f(v).$$ 因为对所有的切矢量 $v$ 都成立上式，所以 $f_{*p}=\mathrm{d}_p f$ .

选定一个局部坐标，因为 $\mathrm{d}_p x^i(\partial_j)=\partial_jx^i(p)=\delta^i_j$ ，所以 $\mathrm{d}_p x^i$ 就是 $\partial_i$ 的对偶基。下面我们来计算一个特别的例子，设 $f:M\to \mathbb{R}^n$ 是一个流形 $M$ 上的矢量值光滑函数，则 $f^i:M\to \mathbb{R}$ 是一个光滑函数，那么 $f_{*p}=\mathrm{d}_pf^i e_i$ ，其中 $e_i$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的标准基。再设 $f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n$ ，则 $\mathrm{d}_pf^i=\partial_j f^i(p) \mathrm{d} x^j=\partial_j f^i(p) e^j$ .写成矩阵即 $$(f_{*p})^{i}_{\phantom{i}j}=\partial_j f^i(p),$$ 此即 $f$ 的Jacobian.

19 复合函数求导法则： $(f\circ g)_{*p}=f_{*g(p)}\circ g_{*p}$ .抽象表现出来是线性映射复合，表现在矩阵（即Jacobian）上就是两个矩阵相乘。

Buwai Lee

交换图都不会画的魔法师