维数正规化碎碎念

我们下面只考虑标量费曼积分,其一般形式如下 I=eLϵγE(μ2)vLD2r=1ldDlriπD2j=1nint 1(qj2+mj2)vj, I=e^{L\epsilon \gamma_{\mathrm{E}}}\left(\mu^{2}\right)^{v-\frac{L D}{2}} \int \prod_{r=1}^{l} \frac{d^{D} l_{r}}{i \pi^{\frac{D}{2}}} \prod_{j=1}^{n_{\text {int }}} \frac{1}{\left(-q_{j}^{2}+m_{j}^{2}\right)^{v_{j}}}, 其中 LL 是圈数, {lr}r=1,,L\{l_r\}_{r=1,\dots,L} 为相应的圈动量. DD 是理论的维数,在维数正规化的时候通常会取做 D=n2ϵD=n-2\epsilon 的形式, nn 是一个正整数,之前的 eLϵγEe^{L\epsilon \gamma_{\mathrm{E}}} 用来吸收积分展开中所有的Euler常数 γE:=limn(logn+k=1n1k). \gamma_{\mathrm{E}}:=\lim_{n\to \infty}\biggl(-\log n+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\biggr). vj1v_j\geq 1 是传播子在壳因子 (qj2+mj2)(-q_{j}^{2}+m_{j}^{2}) 上的幂次, v=iviv=\sum_i v_i 是所有 viv_i 的和, μ2\mu^{2} 具有质量量纲,可以理解为一个给定的重整化标度,用来消去后面积分中的质量量纲。

对于一圈积分(圈动量记作 ll ),我们通常首先利用费曼参数化将传播子写成一个积分 i=1n1Aiki=Γ(k1)Γ(kn)Γ(K)R+KdKaii=1naiki1δ(a1++an1)(i=1naiAi)K, \prod_{i=1}^n\frac{1}{A_i^{k_i}}=\frac{\Gamma(k_1)\cdots \Gamma(k_n)}{\Gamma(K)}\int_{\mathbb R^K_+}d^K a_i \prod_{i=1}^n a_i^{k_i-1}\frac{\delta(a_1+\cdots+a_n-1)}{(\sum_{i=1}^n a_iA_i)^K}, 其中 K=k1++knK=k_1+\cdots+k_n . 此时,每个 AiA_i 形如 (lxi)2+mi2-(l-x_i)^2+m_i^2 ,通过配方,可以写作 i=1naiAi=(ll0)2+U, \sum_{i=1}^n a_iA_i= -(l-l_0)^2+U, 其中 U,V,l0U,V,l_0 是无关圈动量的函数,于是,通过将 ll 做平移,积分归结为如下类型 dDkiπD2(k2)a(Uk2+V)v=Γ(D2+a)Γ(D2)Γ(vD2a)Γ(v)UD2aVvD2a. \int \frac{d^{D} k}{i \pi^{\frac{D}{2}}} \frac{\left(-k^{2}\right)^{a}}{\left(-U k^{2}+V\right)^{v}}=\frac{\Gamma\left(\frac{D}{2}+a\right)}{\Gamma\left(\frac{D}{2}\right)} \frac{\Gamma\left(v-\frac{D}{2}-a\right)}{\Gamma(v)} \frac{U^{-\frac{D}{2}-a}}{V^{v-\frac{D}{2}-a}}. 对于高圈积分,类似的技巧也是可以使用的,但我们这里不展开了。

对于维数正规化 D=n2ϵD=n-2\epsilon ,在上面的圈积分积完后,我们会得到如下因子 Γ(n2+aϵ)Γ(n2ϵ)Γ(vn2a+ϵ)Γ(v)Un2a+ϵVvn2a+ϵ \frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}+a-\epsilon\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}-\epsilon\right)} \frac{\Gamma\left(v-\frac{n}{2}-a+\epsilon\right)}{\Gamma(v)} \frac{U^{-\frac{n}{2}-a+\epsilon}}{V^{v-\frac{n}{2}-a+\epsilon}} 这使得费曼参数变得非常复杂,被积函数不再是有理函数。处理这类积分的传统方法之一,是通过Mellin变换来得到其结果。下面我们解释Mellin变换为何会自然出现于维数正规化的积分中。

D=n+2kD=n+2kkk 还是正整数,则圈积分可以分解为 l=l1+l2l=l_1+l_2 ,其中 l1l_1 处于 nn 维动量空间,而 l2l_2 处于与其正交的 kk 维动量空间,并且,Lorentz度规完全由 l1l_1 实现,则 l2l_2 的度规是欧几里得度规。此时由于所有外动量都处于 l1l_1nn 维动量空间中,所以被积分函数关于 l2l_2 的依赖只可能是 γ:=l22\gamma:=l_2^2 . 则 dDliπD2=dnl1iπn2d2kl2πk=dnl1iπn20dl2πkl22k1Ω2k1=12kπkdnl1iπn20dγkΩ2k, \int \frac{d^{D} l}{i \pi^{\frac{D}{2}}}=\int \frac{d^{n} l_1}{i \pi^{\frac{n}{2}}}\int \frac{d^{2k} l_2}{\pi^{k}}=\int \frac{d^{n} l_1}{i \pi^{\frac{n}{2}}}\int_0^\infty \frac{d |l_2|}{\pi^{k}} |l_2|^{2k-1} \Omega_{2k-1}=\frac{1}{2k \pi^k}\int \frac{d^{n} l_1}{i \pi^{\frac{n}{2}}}\int_0^\infty d\gamma^k \Omega_{2k}, 其中 Ω2k\Omega_{2k}2k2k 维空间中 2k12k-1 维单位球面的面积, Ω2k=2πkΓ(k), \Omega_{2k}=\frac{2\pi^k}{\Gamma(k)}, dDliπD2=1kΓ(k)dnl1iπn20dγk=1Γ(k)dnl1iπn20dγγk1. \int \frac{d^{D} l}{i \pi^{\frac{D}{2}}}=\frac{1}{k\Gamma(k)}\int \frac{d^{n} l_1}{i \pi^{\frac{n}{2}}}\int_0^\infty d\gamma^k=\frac{1}{\Gamma(k)}\int \frac{d^{n} l_1}{i \pi^{\frac{n}{2}}}\int_0^\infty d\gamma\, \gamma^{k-1}. 此时,我们可以将 kk 取做任意实数(解析延拓),而积分变换 0dγγk1\int_0^\infty d\gamma\, \gamma^{k-1} 实际即是Mellin变换!以一圈积分为例,容易看到在费曼参数化之后,分母写作 i=1naiAi=(ll0)2+U+γ. \sum_{i=1}^n a_iA_i= -(l-l_0)^2+U+\gamma. 我们对其做Mellin变换,会遇到如下积分 1Γ(k)0dγγk11(A+Bγ)n=Γ(nk)Γ(n)1AnkBk, \frac{1}{\Gamma(k)}\int_0^\infty d\gamma \, \gamma^{k-1}\, \frac{1}{(A+B\gamma)^n}=\frac{\Gamma(n-k)}{\Gamma(n)}\frac{1}{A^{n-k}B^k}, 具体到一圈标量积分(无分子),则 1Γ(k)0dγγk11(i=1naiAi)v=Γ(vk)Γ(v)1((ll0)2+U)vk. \frac{1}{\Gamma(k)}\int_0^\infty d\gamma \, \gamma^{k-1}\, \frac{1}{(\sum_{i=1}^n a_iA_i)^v}=\frac{\Gamma(v-k)}{\Gamma(v)}\frac{1}{(-(l-l_0)^2+U)^{v-k}}. 然后再做圈积分,得到 Γ(vkn2)Γ(v)1Uvkn2. \frac{\Gamma\left(v-k-\frac{n}{2}\right)}{\Gamma(v)}\frac{1}{U^{v-k-\frac{n}{2}}}. 不难看到,这就是直接将 DD 取做 n+2kn+2k 的积分结果 Γ(vD2)Γ(v)1UvD2. \frac{\Gamma\left(v-\frac{D}{2}\right)}{\Gamma(v)} \frac{1}{U^{v-\frac{D}{2}}}. 于是,在一些例子中,我们可以调换积分顺序,先计算圈积分, dDliπD2=1Γ(k)0dγγk1dnliπn2 \int \frac{d^{D} l}{i \pi^{\frac{D}{2}}}=\frac{1}{\Gamma(k)}\int_0^\infty d\gamma\, \gamma^{k-1}\int \frac{d^{n} l}{i \pi^{\frac{n}{2}}} 然后再计算“额外维”的动量积分,即进行Mellin变换。比如对于一圈标量积分(无分子)来说,圈动量的积分做完后 dnliπn21((ll0)2+U+γ)v=Γ(vn2)Γ(v)1(U+γ)vn2 \int \frac{d^{n} l}{i \pi^{\frac{n}{2}}} \frac{1}{(-(l-l_0)^2+U+\gamma)^v} =\frac{\Gamma\left(v-\frac{n}{2}\right)}{\Gamma(v)} \frac{1}{(U+\gamma)^{v-\frac{n}{2}}} 新的费曼参数积分可能会变得相对容易计算,比如对于 n=4n=4(U+γ)vn2=(U+γ)v2(U+\gamma)^{v-\frac{n}{2}}=(U+\gamma)^{v-2} 将是费曼参数的多项式。从另一种角度来看,维数正规化变成了某种“质量”正规化,我们叫做 γ\gamma -正规化。

现在我们来考虑Mellin变换,即 M[f](k):=0dγγk1f(γ). \mathcal M[f](k):=\int_0^\infty d\gamma\, \gamma^{k-1} f(\gamma). 著名的Mellin反变换定理如下,如果 ψ(k)\psi(k)a<Re(k)<ba<\operatorname{Re}(k)<b 内解析,且在这个区域内在 Im(k)±\operatorname{Im}(k)\to \pm \infty 时一致收敛于 00 ,且积分( cc 为一个满足 a<c<ba<c<b 的实数) M1[ψ](γ):=12πicic+iγkψ(k)dk \mathcal M^{-1}[\psi](\gamma):=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\gamma^{-k}\psi(k)dk 绝对收敛时,则 M1[ψ]\mathcal M^{-1}[\psi] 的Mellin变换为 ψ\psi ,即 M[M1[ψ]]=ψ\mathcal M[\mathcal M^{-1}[\psi]]=\psi . 特别地,如果 ψ\psi 是某个函数 ff 的Mellin变换, ff 在正实轴上连续,且Mellin变换的积分在 a<Re(k)<ba<\operatorname{Re}(k)<b 中绝对收敛,则 f=M1[ψ]f=M^{-1}[\psi] .

将其应用到我们的积分,则我们需要考虑 M1[Γ(k)I(k)](γ)=12πicic+iγkΓ(k)I(k)dk, \mathcal M^{-1}[\Gamma(k)I(k)](\gamma)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\gamma^{-k}\Gamma(k)I(k)dk, 其中 I(k)I(k) 是费曼参数化下的积分结果,而 M1[Γ(k)I(k)](γ)\mathcal M^{-1}[\Gamma(k)I(k)](\gamma)γ\gamma -正规化的结果。现在,假设在 k0k\sim 0 时,积分结果可以展开为 exp(γEk)I(k)=i=N0(1)iIiki+O(k). \exp (-\gamma_{\mathrm{E}} k)I(k)=\sum_{i=-N}^0 (-1)^iI_i k^i+O(k). 或者令 k=ϵk=-\epsilonexp(γEϵ)I(ϵ)=i=N0Iiϵi+O(ϵ). \exp (\gamma_{\mathrm{E}} \epsilon)I(-\epsilon)=\sum_{i=-N}^0 I_i \epsilon^i+O(\epsilon). 从物理上,我们可以知道, I(k)I(k) 在有限处的极点只会出现在整数处,而 Γ(k)\Gamma(k) 只会出现在非负整数处,我们考虑解析的区间 0<Re(k)<10<\operatorname{Re}(k)<1 ,然后将 cc 取得接近 00 ,再考虑左无穷大半圆围道,这部分围道上的贡献由 γkΓ(k)I(k)\gamma^{-k}\Gamma(k)I(k) 的极限行为控制,这里假设收敛地够快使其为零,则上述Mellin反变换的结果是这样的围到中 γkΓ(k)I(k)\gamma^{-k}\Gamma(k)I(k) 的留数之和。特别地,对于负整数 k=Nk=-N ,留数会正比于 γN\gamma^N ,所以,如果我们只关心具体 O(γ)O(\gamma) 的积分结果,则其完全由 k=0k=0 处的留数给出,即由 γkΓ(k)I(k)\gamma^{-k}\Gamma(k)I(k)γ1\gamma^{-1} 系数确定。比如说,若 N=2N=2 ,则 M1[Γ(k)I(k)](γ)=I0+ζ22I2+I1log(γ)+12I2log(γ)2+O(γ). \mathcal M^{-1}[\Gamma(k)I(k)](\gamma)=I_0+\frac{\zeta_2}{2}I_{-2}+I_{-1}\log(\gamma)+\frac{1}{2}I_{-2}\log(\gamma)^2 + O(\gamma). 其中可能会用到 Γ\Gamma 函数在 k=0k=0 附近的分解 Γ(1+k)=kΓ(k)=exp(γEk+n=2(1)nnζnkn), \Gamma(1+k)=k\Gamma(k)=\exp \left(-\gamma_{\mathrm{E}} k+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \zeta_{n} k^{n}\right), 这里 exp(γEk)\exp (-\gamma_{\mathrm{E}} k) 已经用来吃掉了所有 I(k)I(k) 展开中的 γE\gamma_{\mathrm{E}} . 所以,至少可以看到,如果 I(k)I(k) 具有 kNk^{-N} 次发散,则 M1[Γ(k)I(k)](γ)\mathcal M^{-1}[\Gamma(k)I(k)](\gamma) 至多具有 log(γ)N\log(\gamma)^N 次发散。于是,在一些情况下,我们只需计算 M1[Γ(k)I(k)](γ)\mathcal M^{-1}[\Gamma(k)I(k)](\gamma)log(γ)\log(\gamma) 展开就可以反过来推出费曼参数化下的 I(k)I(k) 的展开。

下面我们考虑一个例子,四维的2-mass easy的一圈四边形, I2me=dDx0iπD21(x0x1)2(x0x2)2(x0x3)2(x0x4)2, I_{\text{2me}}=\int \frac{d^{D} x_0}{i \pi^{\frac{D}{2}}} \frac{1}{(x_0-x_1)^2(x_0-x_2)^2(x_0-x_3)^2(x_0-x_4)^2}, 这里 xi+1xi=pix_{i+1}-x_i=p_i ,且 p22=p42=0p_2^2=p_4^2=0 ,利用费曼参数化在 D=42ϵD=4-2\epsilon 中可以计算得到 I2me=Γ(4)R+4d4adDx0iπD2δ(a1+a2+a3+a41)(a1(x0x1)2+a2(x0x2)2+a3(x0x3)2+a4(x0x4)2)4=Γ(4)R+4d4adDx0iπD2δ(a1+a2+a3+a41)(x02+i<jaiaj(xixj)2)4=Γ(4)1Γ(ϵ)0dγγϵ1R+4d4adDx0iπD2δ(a1+a2+a3+a41)(x02+i<jaiaj(xixj)2γ)4=Γ(4)Γ(2)Γ(4)1Γ(ϵ)0dγγϵ1R+4d4aδ(a1+a2+a3+a41)(i<jaiaj(xixj)2γ)2=1Γ(ϵ)0dγγϵ1R+4d4aδ(a1+a2+a3+a41)(i<jaiaj(xixj)2γ)2 \begin{aligned} I_{\text{2me}}&=\Gamma(4)\int_{\mathbb R_+^4}d^4a\int \frac{d^{D} x_0}{i \pi^{\frac{D}{2}}} \frac{\delta(a_1+a_2+a_3+a_4-1)}{(a_1(x_0-x_1)^2+a_2(x_0-x_2)^2+a_3(x_0-x_3)^2+a_4(x_0-x_4)^2)^4}\\ &=\Gamma(4)\int_{\mathbb R_+^4}d^4a\int \frac{d^{D} x_0}{i \pi^{\frac{D}{2}}} \frac{\delta(a_1+a_2+a_3+a_4-1)}{(x_0^2+\sum_{i<j}a_i a_j (x_i-x_j)^2)^4}\\ &=\Gamma(4)\frac{1}{\Gamma(-\epsilon)}\int_0^\infty d\gamma \, \gamma^{-\epsilon-1}\int_{\mathbb R_+^4}d^4a\int \frac{d^{D} x_0}{i \pi^{\frac{D}{2}}} \frac{\delta(a_1+a_2+a_3+a_4-1)}{(x_0^2+\sum_{i<j}a_i a_j (x_i-x_j)^2-\gamma)^4}\\ &=\Gamma(4)\frac{\Gamma(2)}{\Gamma(4)}\frac{1}{\Gamma(-\epsilon)}\int_0^\infty d\gamma \, \gamma^{-\epsilon-1}\int_{\mathbb R_+^4}d^4a\frac{\delta(a_1+a_2+a_3+a_4-1)}{(\sum_{i<j}a_i a_j (x_i-x_j)^2-\gamma)^2}\\ &=\frac{1}{\Gamma(-\epsilon)}\int_0^\infty d\gamma \, \gamma^{-\epsilon-1}\int_{\mathbb R_+^4}d^4a\frac{\delta(a_1+a_2+a_3+a_4-1)}{(\sum_{i<j}a_i a_j (x_i-x_j)^2-\gamma)^2}\\ \end{aligned} 所以,我们只需计算里面这个费曼参数积分的 log(γ)\log(\gamma) 展开系数即可,将分母具体写出,即 U=i<jaiaj(xixj)2γ=a1a2m12+a1a3s+a2a4t+a3a4m32(a1+a2+a3+a4)2γ, U=\sum_{i<j}a_i a_j (x_i-x_j)^2-\gamma=a_1a_2 m_1^2+a_1a_3s+a_2a_4t+a_3a_4m_3^2-(a_1+a_2+a_3+a_4)^2\gamma, 其中 mi2=pi2m_i^2=p_i^2 ,而 s=(p1+p2)2s=(p_1+p_2)^2 , t=(p2+p3)2t=(p_2+p_3)^2 .

对于积分 R+4d4aδ(a1+a2+a3+a41)U2, \int_{\mathbb R_+^4}d^4a\frac{\delta(a_1+a_2+a_3+a_4-1)}{U^2}, 由于 1/U21/U^2 关于参数是 4-4 次齐次的,所以我们设 a4=1a_4=1 ,这样积分变成了 R+3d3a1(a1a2m12+a1a3s+a2t+a3m32(a1+a2+a3+1)2γ)2, \int_{\mathbb R_+^3}d^3a\frac{1}{(a_1a_2 m_1^2+a_1a_3s+a_2t+a_3m_3^2-(a_1+a_2+a_3+1)^2\gamma)^2}, 可以看到,若 γ=0\gamma=0 ,则 a2a30a_2\sim a_3\sim 0 处或 a2a3a_2\sim a_3\sim \infty 会发散。为计算这个积分,我们引入如下技术。

Proposition 1 设一个光滑函数 ff 具有如下极限行为 f(x1t,,xnt;ϵt)t0+1tnf0(x1,,xn;ϵ)+O(tn+1), f(x_1t,\dots,x_nt;\epsilon t)\xrightarrow{t\sim 0^+}\frac{1}{t^n}f_0(x_1,\dots,x_n;\epsilon)+O(t^{-n+1}), f0f_0 具有良好的无穷远行为。则积分 R+nf(x;ϵ)dnxR+nB+(λϵ)f(x;0)dnx \int_{\mathbb R_+^n} f(\mathbf{x};\epsilon)\,d^nx-\int_{\mathbb R_+^n - B_+(\lambda \epsilon)} f(\mathbf{x};0)\,d^nx ϵ0+\epsilon\to 0^+ 时候有限,其中为球心位于原点的半径为 λϵ\lambda \epsilon 球与 R+n\mathbb R_+^n 的交 B+(λϵ):={x<λϵ}R+nB_+(\lambda \epsilon):=\{|\mathbf x|<\lambda \epsilon\}\cap \mathbb R_+^n ,而 λ\lambda 为任意正数。并且,上述积分的有限差值可以表示为 I1+I2I_1+I_2 ,其中 I1=B+(λ)f0(x;1)dnx,I2=R+nB+(λ)(f0(x;1)f0(x;0))dnx I_1=\int_{B_+(\lambda)}f_0(\mathbf{x};1)\,d^nx,\quad I_2=\int_{\mathbb R_+^n - B_+(\lambda)} (f_0(\mathbf x;1)-f_0(\mathbf x;0))\,d^nx f0f_0 的积分。

我们可以用其他区域来替换 B+(λϵ)B_+(\lambda \epsilon) ,比方说,取边长为 ϵ\epsilon 的正方体 [0,ϵ]n:={0<xi<ϵ for 1in}[0,\epsilon]^n:=\{ 0<x_i<\epsilon \text{ for }1\leq i\leq n\} . 这是因为存在 λ1\lambda_1λ2\lambda_2 使得 B+(λ1ϵ)[0,ϵ]nB+(λ2ϵ)B_+(\lambda_1\epsilon)\subset [0,\epsilon]^n\subset B_+(\lambda_2\epsilon) 对任意的 ϵ\epsilon 都成立。

Proof. 我们首先将 R+nf(x;ϵ)dnx\int_{\mathbb R_+^n} f(\mathbf{x};\epsilon)\,d^nx 分解为 R+nf(x;ϵ)dnx=B+(λϵ)f(x;ϵ)dnx+R+nB+(λϵ)(f(x;ϵ)f(x;0))dnx+R+nB+(λϵ)f(x;0)dnx \int_{\mathbb R_+^n} f(\mathbf{x};\epsilon)\,d^nx=\int_{B_+(\lambda \epsilon)} f(\mathbf{x};\epsilon)\,d^nx+\int_{\mathbb R_+^n - B_+(\lambda \epsilon)} (f(\mathbf{x};\epsilon)-f(\mathbf{x};0))d^nx + \int_{\mathbb R_+^n - B_+(\lambda \epsilon)} f(\mathbf{x};0)d^nx 我们需要算中间两项在 ϵ0\epsilon\to 0 时候的极限行为,记 I1=B+(λϵ)f(x;ϵ)dnxandI2=R+nB+(λϵ)(f(x;ϵ)f(x;0))dnx. I_1=\int_{B_+(\lambda \epsilon)} f(\mathbf{x};\epsilon)\,d^nx \quad \text{and} \quad I_2=\int_{\mathbb R_+^n - B_+(\lambda \epsilon)} (f(\mathbf{x};\epsilon)-f(\mathbf{x};0))d^nx. I1I_1 ,我们坐标变换 xxϵ\mathbf{x}\to \mathbf{x}\epsilon I1=ϵnB+(λ)f(xϵ;ϵ)dnxB+(λ)f0(x;1)dnx, I_1=\epsilon^n\int_{B_+(\lambda)} f(\mathbf{x}\epsilon;\epsilon)\,d^nx \to \int_{B_+(\lambda)} f_0(\mathbf{x};1)\,d^nx, 另一方面, I2I_2 只可能在 B+(λϵ)B_+(\lambda \epsilon) 附近发散,此时我们在附近考虑积分,注意到 x|x| 也很小,所以,在坐标变换 xxϵ\mathbf{x}\to \mathbf{x}\epsilon 下,其极限行为为 R+nB+(λϵ)(f(x;ϵ)f(x;0))dnxxλ(f0(x;1)1xnf0(x/x;0))dnx \begin{aligned} \int_{\mathbb R_+^n - B_+(\lambda \epsilon)} (f(\mathbf{x};\epsilon)-f(\mathbf{x};0))d^nx &\sim \int_{|x|\sim \lambda } \left(f_0(\mathbf{x};1)-\frac{1}{|x|^n}f_0(\mathbf{x}/|x|;0)\right)\,d^n x \end{aligned} 由于其下界不为零,第二项并不会导致发散。这就完成了我们的证明。

一般来说,在积分中,因为费曼参数在边界的行为并不会那么简单,他可能在许多边界处产生发散,所以我们可以整个 R+n\mathbb R^n_{+} 拆成 3n3^n 个区域,每个区域 Iα:=Iα1××Iαn, I_\alpha:=I_{\alpha_1}\times \cdots \times I_{\alpha_n}, 用一个向量 {αi}\{\alpha_i\} 表示,其中 αi=0,±1\alpha_i=0,\pm 1 ,而 I1:=(1/ϵ,)I_{-1}:=(1/\epsilon,\infty) , I0:=(ϵ,1/ϵ)I_{0}:=(\epsilon,1/\epsilon) 以及 I1:=(0,ϵ)I_1:=(0,\epsilon) . 接着,将被积函数适当重写为 R+nf(x;ϵ)i=1ndlogxi \int_{\mathbb R_+^n} f(\mathbf{x};\epsilon)\,\prod_{i=1}^n d\log x_i 这里我们复用一下符号 ff . 如果必要,对 αi=1\alpha_i=-1 ,可以通过积分变换 xi1/xix_i\to 1/x_i 就可以将相应的 I1I_{-1} 变为 I1I_1 ,但这会改变 ff . 对给定的 α\alpha ,其中 αi\alpha_i 的指标 ii 的集合记作 α0\alpha_0 ,为 11 的指标集合记作 α+\alpha_+ ,为 1-1 的指标集合记作 α\alpha_- ,那么 I0α0iα0dlogxiiα±dlogxif(x;ϵ) \int_{I_0^{|\alpha_0|}}\prod_{i\in \alpha_0} d\log x_i\, \int\prod_{i\in \alpha_\pm} d\log x_i \, f(\mathbf{x};\epsilon)\, 从上面的命题,我们知道,如果当 ϵtϵ\epsilon\to t\epsilon 且对 iα±i\in \alpha_\pmxit±1xix_i\to t^{\pm 1}x_i 时, f(x;ϵ)=tkf0(x;ϵ)+O(tk+1)f(\mathbf{x};\epsilon)= t^k f_0(\mathbf{x};\epsilon)+O(t^{k+1}) ,则当 k0k\geq 0 ,里侧的积分具有量级 O(ϵk)O(\epsilon^k) . 如果外侧的积分发散形如 log(ϵ)l\log(\epsilon)^l (基本上就是我们的情况),则我们可以断言,如果 k>0k>0 ,则这个 IαI_{\alpha} 不贡献。我们将这个 kk 记作 k(α)k(\alpha) . 如果出现 k(α)<0k(\alpha)<0 ,则意味着积分有着 1/ϵk(α)1/\epsilon^{-k(\alpha)} 型的发散,从物理上,我们已经得知积分只有 log(ϵ)\log(\epsilon) 的幂次的发散,所以不会出现这样的情况。

最后,考虑所有贡献的 α(0,,0)\alpha\neq (0,\dots,0) ,其集合为 Φf\Phi_f (如果 ff 显明,我们略去下标),于是我们分解积分为 R+nf(x;ϵ)i=1ndlogxi=αΦIαf(x;ϵ)i=1ndlogxi+α∉ΦIα(f(x;ϵ)f(x;0))i=1ndlogxi+α∉ΦIαf(x;0)i=1ndlogxi, \begin{aligned} \int_{\mathbb R_+^n} f(\mathbf{x};\epsilon)\,\prod_{i=1}^n d\log x_i=&\,\sum_{\alpha\in \Phi}\int_{I_\alpha} f(\mathbf{x};\epsilon)\,\prod_{i=1}^n d\log x_i+\sum_{\alpha\not\in \Phi} \int_{I_\alpha}(f(\mathbf{x};\epsilon)-f(\mathbf{x};0))\,\prod_{i=1}^n d\log x_i\\ &+\sum_{\alpha\not\in \Phi} \int_{I_\alpha}f(\mathbf{x};0)\,\prod_{i=1}^n d\log x_i \end{aligned}, 右侧第一个积分都可以通过 xixiϵαix_i\to x_i\epsilon^{\alpha_i} 来保留到 ϵ0\epsilon^0 ,当然相应的上下限都要改动,第二项我们后面讨论,第三项最容易积分。发散只会来自于第二项和第三项,而最高阶的发散只来自于第三项。

回到2-mass easy的一圈四边形积分, R+3d3a1(a1a2m12+a1a3s+a2t+a3m32(a1+a2+a3+1)2γ)2, \int_{\mathbb R_+^3}d^3a\frac{1}{(a_1a_2 m_1^2+a_1a_3s+a_2t+a_3m_3^2-(a_1+a_2+a_3+1)^2\gamma)^2}, 不难分析得到 Φ={(0,1,1),(0,1,1)}, \Phi=\{(0, -1, -1), (0, 1, 1)\}, 对应的区域是 (a2,a3)[0,γ]2(a_2,a_3)\in [0,\gamma]^2(a2,a3)[1/γ,]2(a_2,a_3)\in [1/\gamma,\infty]^2 . 我们先关心发散,他由分解中最后一项给出 R+2[0,γ]2[1/γ,]2d2a0da1(a1a2m12+a1a3s+a2t+a3m32)2=R+2[0,γ]2[1/γ,]2d2a(a2m12+a3s)(a3m32+a2t) \begin{aligned} \int_{\mathbb R_+^2-[0,\gamma]^2-[1/\gamma,\infty]^2}&d^2a\int_{0}^\infty \frac{da_1}{(a_1a_2 m_1^2+a_1a_3s+a_2t+a_3m_3^2)^2}\\ &= \int_{\mathbb R_+^2-[0,\gamma]^2-[1/\gamma,\infty]^2}\frac{d^2a}{\left(a_2 m_1^2+a_3 s\right) \left(a_3 m_3^2+a_2 t\right)} \end{aligned} 的发散部分给出。注意到 R+2[0,γ]2[1/γ,]2d2a=γda30γda2+0da3γ1/γda2+01/γda31/γda2 \int_{\mathbb R_+^2-[0,\gamma]^2-[1/\gamma,\infty]^2}d^2a=\int_{\gamma}^\infty da_3\int_{0}^\gamma da_2+\int_{0}^\infty da_3\int_{\gamma}^{1/\gamma} da_2+\int_{0}^{1/\gamma} da_3\int_{1/\gamma}^\infty da_2 直接的计算给出积分最高阶的发散为(第一第三项积分结果不依赖于 γ\gamma2stm12m32log(m12m32st)log(γ), \frac{2}{s t-m_1^2 m_3^2}\log \left(\frac{m_1^2 m_3^2}{s t}\right)\log(\gamma), 于是我们可以知道维数正规化 D=42ϵD=4-2\epsilon 的结果中,最高阶的发散为 1ϵ2stm12m32log(m12m32st). \frac{1}{\epsilon}\frac{2}{s t-m_1^2 m_3^2}\log \left(\frac{m_1^2 m_3^2}{s t}\right). 再举个2-mass hard的一圈四边形积分,费曼参数化与2-mass easy的一圈四边形积分相同,但是 xij:=(xixj)2x_{ij}:=(x_i-x_j)^2 的条件不同,被积函数如下 R+3d3a1(a1a2x12+a1a3x13+a1x14+a2x24γ(a1+a2+a3+1)2)2. \int_{\mathbb R_+^3}d^3a\frac{1}{(a_1 a_2 x_{12}+a_1 a_3 x_{13}+a_1 x_{14}+a_2 x_{24}-\gamma (a_1+a_2+a_3+1)^2)^2}. 容易计算得 Φ={(0,1,1),(1,1,0)}. \Phi=\{(0,-1,-1),(1,1,0)\}. 这里我们引入一个技巧,考虑变量变换 bi=j=1najNij, b_i=\prod_{j=1}^n a_j^{N_{ij}}, 其中 NN 是可逆的有理矩阵(最好是整数矩阵),于是 i=1ndlogbi=i=1nj=1nNijdlogaj=det(N)i=1ndlogai, \bigwedge_{i=1}^n d\log b_i=\bigwedge_{i=1}^n\sum_{j=1}^n N_{ij}d\log a_j = \det(N) \bigwedge_{i=1}^n d\log a_i, 如果 aitαiaia_i\to t^{\alpha_i}a_i ,则 bit(Nα)ibi, b_i\to t^{(N \alpha)_i} b_i, 这意味着如果 αΦf\alpha\in \Phi_f ,对变量替换后的新被积函数 ff' ,则有 NαΦfN \alpha\in \Phi_{f'} . 当然我们这里还是要保证 (Nα)i{1,0,1}(N\alpha)_i\in \{-1,0,1\} . 对2-mass hard的一圈四边形积分,我们可以令 {b1=a1,b2=a1/a2,b3=a1a3/a2}\{b_1=a_1,b_2=a_1/a_2,b_3=a_1 a_3/a_2\} . 这样, Φf={(0,1,0),(1,0,0)}, \Phi_{f'}=\{(0,1,0),(1,0,0)\}, 如果我们只关注发散,那么先令 γ0\gamma\to 0 ,再把 b3b_3 积掉,可以得到 γγdb1db2b1b2x13(b1x12+b2x14+x24) \int_{\gamma}^\infty\int_{\gamma}^\infty \frac{db_1db_2}{b_1 b_2 x_{13} (b_1 x_{12}+b_2 x_{14}+x_{24})} 他的发散为 1x13x24log(γ)21x13x24log(x242x12x14)log(γ) \frac{1}{x_{13}x_{24}}\log(\gamma)^2-\frac{1}{x_{13} x_{24}}\log \left(\frac{x_{24}^2}{x_{12} x_{14}}\right)\log(\gamma) 已经捕获了2-mass hard的一圈四边形积分绝大部分的发散,其中最高阶的发散是正确的。

现在我们讨论一下,展开式 R+nf(x;ϵ)i=1ndlogxi=αΦIαf(x;ϵ)i=1ndlogxi+α∉ΦIα(f(x;ϵ)f(x;0))i=1ndlogxi+α∉ΦIαf(x;0)i=1ndlogxi, \begin{aligned} \int_{\mathbb R_+^n} f(\mathbf{x};\epsilon)\,\prod_{i=1}^n d\log x_i=&\,\sum_{\alpha\in \Phi}\int_{I_\alpha} f(\mathbf{x};\epsilon)\,\prod_{i=1}^n d\log x_i+\sum_{\alpha\not\in \Phi} \int_{I_\alpha}(f(\mathbf{x};\epsilon)-f(\mathbf{x};0))\,\prod_{i=1}^n d\log x_i\\ &+\sum_{\alpha\not\in \Phi} \int_{I_\alpha}f(\mathbf{x};0)\,\prod_{i=1}^n d\log x_i \end{aligned}, 中的第一第二项如何进行积分。对第一项中对应于 α\alpha 的项,容易改写为 Iαf(x;ϵ)i=1ndlogxiI0α0iα0dlogxiiα±dlogxif0(x;1) \int_{I_\alpha} f(\mathbf{x};\epsilon)\,\prod_{i=1}^n d\log x_i \to \int_{I_0^{|\alpha_0|}}\prod_{i\in \alpha_0} d\log x_i\, \int\prod_{i\in \alpha_\pm} d\log x_i \, f_0(\mathbf{x};1)\, 前面既已改写为 dlogd\log ,这里 f0(x;ϵ)f_0(\mathbf x;\epsilon)f(x;ϵ)f(\mathbf x;\epsilon)xitαixix_i\to t^{\alpha_i}x_i 以及 ϵtϵ\epsilon\to t\epsilon 下的 t0t^0 项。积分限的话,如果 iα+i\in \alpha_+ 就是 [0,1][0,1] ,如果 iαi\in \alpha_- 就是 [1,][1,\infty] .

接着我们看第二项,由于 f(x;ϵ)f(x;0)f(\mathbf{x};\epsilon)-f(\mathbf{x};0) 在远离 IαI_\alpha 的边界的时候,其中 αΦ\alpha\in \Phi ,至多只有 O(ϵ)O(\epsilon) 的贡献,所以我们需要在靠近 IαI_\alpha 时考虑整个积分。我们断言,这部分在 ϵ0\epsilon\to 0 时候等于 Iα(f0(x;1)f0(x;0))i=1ndlogxi=I0α0iα0dlogxiiα±dlogxi(f0(x;1)f0(x;0)) \int_{I_\alpha}(f_0(\mathbf{x};1)-f_0(\mathbf{x};0))\,\prod_{i=1}^n d\log x_i=\int_{I_0^{|\alpha_0|}}\prod_{i\in \alpha_0} d\log x_i\, \int\prod_{i\in \alpha_\pm} d\log x_i \, (f_0(\mathbf{x};1)-f_0(\mathbf x;0))\, 这里对 iα+i\in \alpha_+ 就是 [1,][1,\infty] ,如果 iαi\in \alpha_- 就是 [0,1][0,1] ,那么这里的第一项加上分解中的第一项,即 I0α0iα0dlogxiR+α+α+iα±dlogxif0(x;1) \int_{I_0^{|\alpha_0|}}\prod_{i\in \alpha_0} d\log x_i\, \int_{\mathbb R_+^{|\alpha_-|+|\alpha_+|}}\prod_{i\in \alpha_\pm} d\log x_i \, f_0(\mathbf{x};1) 这个积分当然是发散的,剩下的积分 I0α0iα0dlogxiiα±dlogxif0(x;0) -\int_{I_0^{|\alpha_0|}}\prod_{i\in \alpha_0} d\log x_i\, \int\prod_{i\in \alpha_\pm} d\log x_i \, f_0(\mathbf x;0)\, 仅用来消去这个发散。由于这个发散是假的,所以只要选取适当的临时正规化,比如适当截断相应的上下界,就容易计算出这个积分。总结一下,分解为 R+nf(x;ϵ)i=1ndlogxiαΦϵ1/ϵiα0dlogxi0iα±dlogxif0(x;1)αΦϵ1/ϵxα0dlogxi1xα+dlogxi01xαdlogxif0(x;0)+α∉ΦIαf(x;0)i=1ndlogxi, \begin{aligned} \int_{\mathbb R_+^n} f(\mathbf{x};\epsilon)\,\prod_{i=1}^n d\log x_i \to & \sum_{\alpha\in \Phi}\int_{\epsilon}^{1/\epsilon}\prod_{i\in \alpha_0} d\log x_i\, \int_0^\infty\prod_{i\in \alpha_\pm} d\log x_i \, f_0(\mathbf{x};1)\,\\ &-\sum_{\alpha\in \Phi} \int_{\epsilon}^{1/\epsilon}\prod_{x\in \alpha_0} d\log x_i\int_{1}^\infty\prod_{x\in \alpha_+} d\log x_i\int_0^1\prod_{x\in \alpha_-} d\log x_i\,f_0(\mathbf{x};0)\\ &+\sum_{\alpha\not\in \Phi} \int_{I_\alpha}f(\mathbf{x};0)\,\prod_{i=1}^n d\log x_i, \end{aligned} 这里积分限相同的我们就直接写到积分号上了。

我们现在来算完 2-mass easy的一圈四边形 R+3d3a1(a1a2m12+a1a3s+a2t+a3m32(a1+a2+a3+1)2γ)2, \int_{\mathbb R_+^3}d^3a\frac{1}{(a_1a_2 m_1^2+a_1a_3s+a_2t+a_3m_3^2-(a_1+a_2+a_3+1)^2\gamma)^2}, 记得有 Φ={(0,1,1),(0,1,1)}. \Phi=\{(0, -1, -1), (0, 1, 1)\}. 我们重新用一下小技巧,令 {a2a2a3,a3a3/a2}\{a_2\to a_2a_3,a_3\to a_3/a_2\} ,这样新的 Φ\PhiΦ={(0,0,1),(0,0,1)}. \Phi=\{(0, 0, -1), (0, 0, 1)\}. 注意到Jacobian会多一个因子 22 ,令 γ0\gamma\to 0 ,依然考虑分解中最后一项,容易写出 20da10da2γ1/γda3a2a3(a1(a22m12+s)+a22t+m32)2=2stm12m32log(m12m32st)log(γ). 2\int_0^\infty da_1\int_0^\infty da_2\int_{\gamma}^{1/\gamma} da_3\frac{a_2}{a_3 \left(a_1 \left(a_2^2 m_1^2+s\right)+a_2^2 t+m_3^2\right)^2}=\frac{2}{s t-m_1^2 m_3^2}\log \left(\frac{m_1^2 m_3^2}{s t}\right)\log(\gamma). 然后考虑两个 IαI_{\alpha} 的贡献,在 I(0,0,1)I_{(0,0,1)} 附近, f(0,0,1);0=2a2a3(γa2(a1+1)2+a3(a1s+m32)+a22a3(a1m12+t))2, f_{(0,0,1);0}=\frac{2 a_2 a_3}{\left(-\gamma a_2 \left(a_1+1\right){}^2 +a_3 \left(a_1 s+m_3^2\right)+a_2^2 a_3 \left(a_1 m_1^2+t\right)\right)^2}, I(0,0,1)I_{(0,0,-1)} 附近, f(0,0,1);0=2a23a3(γa3a242a3a22γa3γ+a1a2(a22m12+s)+a2m32+a23t)2. f_{(0,0,-1);0}=\frac{2 a_2^3}{a_3 \left(-\gamma a_3 a_2^4 -2 a_3 a_2^2 \gamma -a_3 \gamma +a_1 a_2 \left(a_2^2 m_1^2+s\right)+a_2 m_3^2+a_2^3 t\right)^2}. 分别令 γ=1\gamma=100γ=0\gamma=0γ=1\gamma=1 消去 a3a_3\to \infty 或者 a30a_3\to 0 处的发散,我们把分积完,得到 2stm12m32(Ls12me(t,s;m12,m32)12log2(m12)12log2(m32)+log2(s)2+log2(t)2), \frac{2}{s t-m_1^2 m_3^2}\biggl(\mathrm{Ls}_{-1}^{\text{2me}}\left(t, s ; m_1^2, m_3^2\right)-\frac{1}{2} \log ^2\left(-m_1^2\right)-\frac{1}{2} \log ^2\left(-m_3^2\right)+\frac{\log ^2(-s)}{2}+\frac{\log ^2(-t)}{2}\biggr), 其中 Ls12me(t,s;m12,m32)=Li2(1m12t)Li2(1m12s)Li2(1m32t)Li2(1m32s)+Li2(1m12m32ts)12log2(ts). \begin{aligned} \mathrm{Ls}_{-1}^{\text{2me}}\left(t, s ; m_1^2, m_3^2\right)=-\mathrm{Li}_{2}\left(1-\frac{m_1^2}{t}\right) &-\mathrm{Li}_{2}\left(1-\frac{m_1^2}{s}\right)-\mathrm{Li}_{2}\left(1-\frac{m_3^2}{t}\right)-\mathrm{Li}_{2}\left(1-\frac{m_3^2}{s}\right) \\ +& \mathrm{Li}_{2}\left(1-\frac{m_1^2 m_3^2}{t s}\right)-\frac{1}{2} \log ^{2}\left(\frac{-t}{-s}\right) . \end{aligned}