维数正规化碎碎念

我们下面只考虑标量费曼积分，其一般形式如下 $$I=e^{L\epsilon \gamma_{\mathrm{E}}}\left(\mu^{2}\right)^{v-\frac{L D}{2}} \int \prod_{r=1}^{l} \frac{d^{D} l_{r}}{i \pi^{\frac{D}{2}}} \prod_{j=1}^{n_{\text {int }}} \frac{1}{\left(-q_{j}^{2}+m_{j}^{2}\right)^{v_{j}}},$$ 其中 $L$ 是圈数， $\{l_r\}_{r=1,\dots,L}$ 为相应的圈动量. $D$ 是理论的维数，在维数正规化的时候通常会取做 $D=n-2\epsilon$ 的形式， $n$ 是一个正整数，之前的 $e^{L\epsilon \gamma_{\mathrm{E}}}$ 用来吸收积分展开中所有的Euler常数 $$\gamma_{\mathrm{E}}:=\lim_{n\to \infty}\biggl(-\log n+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\biggr).$$ 而 $v_j\geq 1$ 是传播子在壳因子 $(-q_{j}^{2}+m_{j}^{2})$ 上的幂次， $v=\sum_i v_i$ 是所有 $v_i$ 的和， $\mu^{2}$ 具有质量量纲，可以理解为一个给定的重整化标度，用来消去后面积分中的质量量纲。

对于一圈积分（圈动量记作 $l$ ），我们通常首先利用费曼参数化将传播子写成一个积分 $$\prod_{i=1}^n\frac{1}{A_i^{k_i}}=\frac{\Gamma(k_1)\cdots \Gamma(k_n)}{\Gamma(K)}\int_{\mathbb R^K_+}d^K a_i \prod_{i=1}^n a_i^{k_i-1}\frac{\delta(a_1+\cdots+a_n-1)}{(\sum_{i=1}^n a_iA_i)^K},$$ 其中 $K=k_1+\cdots+k_n$ . 此时，每个 $A_i$ 形如 $-(l-x_i)^2+m_i^2$ ，通过配方，可以写作 $$\sum_{i=1}^n a_iA_i= -(l-l_0)^2+U,$$ 其中 $U,V,l_0$ 是无关圈动量的函数，于是，通过将 $l$ 做平移，积分归结为如下类型 $$\int \frac{d^{D} k}{i \pi^{\frac{D}{2}}} \frac{\left(-k^{2}\right)^{a}}{\left(-U k^{2}+V\right)^{v}}=\frac{\Gamma\left(\frac{D}{2}+a\right)}{\Gamma\left(\frac{D}{2}\right)} \frac{\Gamma\left(v-\frac{D}{2}-a\right)}{\Gamma(v)} \frac{U^{-\frac{D}{2}-a}}{V^{v-\frac{D}{2}-a}}.$$ 对于高圈积分，类似的技巧也是可以使用的，但我们这里不展开了。

对于维数正规化 $D=n-2\epsilon$ ，在上面的圈积分积完后，我们会得到如下因子 $$\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}+a-\epsilon\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}-\epsilon\right)} \frac{\Gamma\left(v-\frac{n}{2}-a+\epsilon\right)}{\Gamma(v)} \frac{U^{-\frac{n}{2}-a+\epsilon}}{V^{v-\frac{n}{2}-a+\epsilon}}$$ 这使得费曼参数变得非常复杂，被积函数不再是有理函数。处理这类积分的传统方法之一，是通过Mellin变换来得到其结果。下面我们解释Mellin变换为何会自然出现于维数正规化的积分中。

取 $D=n+2k$ ， $k$ 还是正整数，则圈积分可以分解为 $l=l_1+l_2$ ，其中 $l_1$ 处于 $n$ 维动量空间，而 $l_2$ 处于与其正交的 $k$ 维动量空间，并且，Lorentz度规完全由 $l_1$ 实现，则 $l_2$ 的度规是欧几里得度规。此时由于所有外动量都处于 $l_1$ 的 $n$ 维动量空间中，所以被积分函数关于 $l_2$ 的依赖只可能是 $\gamma:=l_2^2$ . 则 $$\int \frac{d^{D} l}{i \pi^{\frac{D}{2}}}=\int \frac{d^{n} l_1}{i \pi^{\frac{n}{2}}}\int \frac{d^{2k} l_2}{\pi^{k}}=\int \frac{d^{n} l_1}{i \pi^{\frac{n}{2}}}\int_0^\infty \frac{d |l_2|}{\pi^{k}} |l_2|^{2k-1} \Omega_{2k-1}=\frac{1}{2k \pi^k}\int \frac{d^{n} l_1}{i \pi^{\frac{n}{2}}}\int_0^\infty d\gamma^k \Omega_{2k},$$ 其中 $\Omega_{2k}$ 是 $2k$ 维空间中 $2k-1$ 维单位球面的面积， $$\Omega_{2k}=\frac{2\pi^k}{\Gamma(k)},$$ 则 $$\int \frac{d^{D} l}{i \pi^{\frac{D}{2}}}=\frac{1}{k\Gamma(k)}\int \frac{d^{n} l_1}{i \pi^{\frac{n}{2}}}\int_0^\infty d\gamma^k=\frac{1}{\Gamma(k)}\int \frac{d^{n} l_1}{i \pi^{\frac{n}{2}}}\int_0^\infty d\gamma\, \gamma^{k-1}.$$ 此时，我们可以将 $k$ 取做任意实数（解析延拓），而积分变换 $\int_0^\infty d\gamma\, \gamma^{k-1}$ 实际即是Mellin变换！以一圈积分为例，容易看到在费曼参数化之后，分母写作 $$\sum_{i=1}^n a_iA_i= -(l-l_0)^2+U+\gamma.$$ 我们对其做Mellin变换，会遇到如下积分 $$\frac{1}{\Gamma(k)}\int_0^\infty d\gamma \, \gamma^{k-1}\, \frac{1}{(A+B\gamma)^n}=\frac{\Gamma(n-k)}{\Gamma(n)}\frac{1}{A^{n-k}B^k},$$ 具体到一圈标量积分（无分子），则 $$\frac{1}{\Gamma(k)}\int_0^\infty d\gamma \, \gamma^{k-1}\, \frac{1}{(\sum_{i=1}^n a_iA_i)^v}=\frac{\Gamma(v-k)}{\Gamma(v)}\frac{1}{(-(l-l_0)^2+U)^{v-k}}.$$ 然后再做圈积分，得到 $$\frac{\Gamma\left(v-k-\frac{n}{2}\right)}{\Gamma(v)}\frac{1}{U^{v-k-\frac{n}{2}}}.$$ 不难看到，这就是直接将 $D$ 取做 $n+2k$ 的积分结果 $$\frac{\Gamma\left(v-\frac{D}{2}\right)}{\Gamma(v)} \frac{1}{U^{v-\frac{D}{2}}}.$$ 于是，在一些例子中，我们可以调换积分顺序，先计算圈积分， $$\int \frac{d^{D} l}{i \pi^{\frac{D}{2}}}=\frac{1}{\Gamma(k)}\int_0^\infty d\gamma\, \gamma^{k-1}\int \frac{d^{n} l}{i \pi^{\frac{n}{2}}}$$ 然后再计算“额外维”的动量积分，即进行Mellin变换。比如对于一圈标量积分（无分子）来说，圈动量的积分做完后 $$\int \frac{d^{n} l}{i \pi^{\frac{n}{2}}} \frac{1}{(-(l-l_0)^2+U+\gamma)^v} =\frac{\Gamma\left(v-\frac{n}{2}\right)}{\Gamma(v)} \frac{1}{(U+\gamma)^{v-\frac{n}{2}}}$$ 新的费曼参数积分可能会变得相对容易计算，比如对于 $n=4$ ， $(U+\gamma)^{v-\frac{n}{2}}=(U+\gamma)^{v-2}$ 将是费曼参数的多项式。从另一种角度来看，维数正规化变成了某种“质量”正规化，我们叫做 $\gamma$ -正规化。

现在我们来考虑Mellin变换，即 $$\mathcal M[f](k):=\int_0^\infty d\gamma\, \gamma^{k-1} f(\gamma).$$ 著名的Mellin反变换定理如下，如果 $\psi(k)$ 在 $a<\operatorname{Re}(k)<b$ 内解析，且在这个区域内在 $\operatorname{Im}(k)\to \pm \infty$ 时一致收敛于 $0$ ，且积分（ $c$ 为一个满足 $a<c<b$ 的实数） $$\mathcal M^{-1}[\psi](\gamma):=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\gamma^{-k}\psi(k)dk$$ 绝对收敛时，则 $\mathcal M^{-1}[\psi]$ 的Mellin变换为 $\psi$ ，即 $\mathcal M[\mathcal M^{-1}[\psi]]=\psi$ . 特别地，如果 $\psi$ 是某个函数 $f$ 的Mellin变换， $f$ 在正实轴上连续，且Mellin变换的积分在 $a<\operatorname{Re}(k)<b$ 中绝对收敛，则 $f=M^{-1}[\psi]$ .

将其应用到我们的积分，则我们需要考虑 $$\mathcal M^{-1}[\Gamma(k)I(k)](\gamma)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\gamma^{-k}\Gamma(k)I(k)dk,$$ 其中 $I(k)$ 是费曼参数化下的积分结果，而 $\mathcal M^{-1}[\Gamma(k)I(k)](\gamma)$ 是 $\gamma$ -正规化的结果。现在，假设在 $k\sim 0$ 时，积分结果可以展开为 $$\exp (-\gamma_{\mathrm{E}} k)I(k)=\sum_{i=-N}^0 (-1)^iI_i k^i+O(k).$$ 或者令 $k=-\epsilon$ ， $$\exp (\gamma_{\mathrm{E}} \epsilon)I(-\epsilon)=\sum_{i=-N}^0 I_i \epsilon^i+O(\epsilon).$$ 从物理上，我们可以知道， $I(k)$ 在有限处的极点只会出现在整数处，而 $\Gamma(k)$ 只会出现在非负整数处，我们考虑解析的区间 $0<\operatorname{Re}(k)<1$ ，然后将 $c$ 取得接近 $0$ ，再考虑左无穷大半圆围道，这部分围道上的贡献由 $\gamma^{-k}\Gamma(k)I(k)$ 的极限行为控制，这里假设收敛地够快使其为零，则上述Mellin反变换的结果是这样的围到中 $\gamma^{-k}\Gamma(k)I(k)$ 的留数之和。特别地，对于负整数 $k=-N$ ，留数会正比于 $\gamma^N$ ，所以，如果我们只关心具体 $O(\gamma)$ 的积分结果，则其完全由 $k=0$ 处的留数给出，即由 $\gamma^{-k}\Gamma(k)I(k)$ 的 $\gamma^{-1}$ 系数确定。比如说，若 $N=2$ ，则 $$\mathcal M^{-1}[\Gamma(k)I(k)](\gamma)=I_0+\frac{\zeta_2}{2}I_{-2}+I_{-1}\log(\gamma)+\frac{1}{2}I_{-2}\log(\gamma)^2 + O(\gamma).$$ 其中可能会用到 $\Gamma$ 函数在 $k=0$ 附近的分解 $$\Gamma(1+k)=k\Gamma(k)=\exp \left(-\gamma_{\mathrm{E}} k+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \zeta_{n} k^{n}\right),$$ 这里 $\exp (-\gamma_{\mathrm{E}} k)$ 已经用来吃掉了所有 $I(k)$ 展开中的 $\gamma_{\mathrm{E}}$ . 所以，至少可以看到，如果 $I(k)$ 具有 $k^{-N}$ 次发散，则 $\mathcal M^{-1}[\Gamma(k)I(k)](\gamma)$ 至多具有 $\log(\gamma)^N$ 次发散。于是，在一些情况下，我们只需计算 $\mathcal M^{-1}[\Gamma(k)I(k)](\gamma)$ 的 $\log(\gamma)$ 展开就可以反过来推出费曼参数化下的 $I(k)$ 的展开。

下面我们考虑一个例子，四维的2-mass easy的一圈四边形， $$I_{\text{2me}}=\int \frac{d^{D} x_0}{i \pi^{\frac{D}{2}}} \frac{1}{(x_0-x_1)^2(x_0-x_2)^2(x_0-x_3)^2(x_0-x_4)^2},$$ 这里 $x_{i+1}-x_i=p_i$ ，且 $p_2^2=p_4^2=0$ ，利用费曼参数化在 $D=4-2\epsilon$ 中可以计算得到 $$\begin{aligned} I_{\text{2me}}&=\Gamma(4)\int_{\mathbb R_+^4}d^4a\int \frac{d^{D} x_0}{i \pi^{\frac{D}{2}}} \frac{\delta(a_1+a_2+a_3+a_4-1)}{(a_1(x_0-x_1)^2+a_2(x_0-x_2)^2+a_3(x_0-x_3)^2+a_4(x_0-x_4)^2)^4}\\ &=\Gamma(4)\int_{\mathbb R_+^4}d^4a\int \frac{d^{D} x_0}{i \pi^{\frac{D}{2}}} \frac{\delta(a_1+a_2+a_3+a_4-1)}{(x_0^2+\sum_{i<j}a_i a_j (x_i-x_j)^2)^4}\\ &=\Gamma(4)\frac{1}{\Gamma(-\epsilon)}\int_0^\infty d\gamma \, \gamma^{-\epsilon-1}\int_{\mathbb R_+^4}d^4a\int \frac{d^{D} x_0}{i \pi^{\frac{D}{2}}} \frac{\delta(a_1+a_2+a_3+a_4-1)}{(x_0^2+\sum_{i<j}a_i a_j (x_i-x_j)^2-\gamma)^4}\\ &=\Gamma(4)\frac{\Gamma(2)}{\Gamma(4)}\frac{1}{\Gamma(-\epsilon)}\int_0^\infty d\gamma \, \gamma^{-\epsilon-1}\int_{\mathbb R_+^4}d^4a\frac{\delta(a_1+a_2+a_3+a_4-1)}{(\sum_{i<j}a_i a_j (x_i-x_j)^2-\gamma)^2}\\ &=\frac{1}{\Gamma(-\epsilon)}\int_0^\infty d\gamma \, \gamma^{-\epsilon-1}\int_{\mathbb R_+^4}d^4a\frac{\delta(a_1+a_2+a_3+a_4-1)}{(\sum_{i<j}a_i a_j (x_i-x_j)^2-\gamma)^2}\\ \end{aligned}$$ 所以，我们只需计算里面这个费曼参数积分的 $\log(\gamma)$ 展开系数即可，将分母具体写出，即 $$U=\sum_{i<j}a_i a_j (x_i-x_j)^2-\gamma=a_1a_2 m_1^2+a_1a_3s+a_2a_4t+a_3a_4m_3^2-(a_1+a_2+a_3+a_4)^2\gamma,$$ 其中 $m_i^2=p_i^2$ ，而 $s=(p_1+p_2)^2$ , $t=(p_2+p_3)^2$ .

对于积分 $$\int_{\mathbb R_+^4}d^4a\frac{\delta(a_1+a_2+a_3+a_4-1)}{U^2},$$ 由于 $1/U^2$ 关于参数是 $-4$ 次齐次的，所以我们设 $a_4=1$ ，这样积分变成了 $$\int_{\mathbb R_+^3}d^3a\frac{1}{(a_1a_2 m_1^2+a_1a_3s+a_2t+a_3m_3^2-(a_1+a_2+a_3+1)^2\gamma)^2},$$ 可以看到，若 $\gamma=0$ ，则 $a_2\sim a_3\sim 0$ 处或 $a_2\sim a_3\sim \infty$ 会发散。为计算这个积分，我们引入如下技术。

Proposition 1 设一个光滑函数 $f$ 具有如下极限行为 $$f(x_1t,\dots,x_nt;\epsilon t)\xrightarrow{t\sim 0^+}\frac{1}{t^n}f_0(x_1,\dots,x_n;\epsilon)+O(t^{-n+1}),$$ 且 $f_0$ 具有良好的无穷远行为。则积分 $$\int_{\mathbb R_+^n} f(\mathbf{x};\epsilon)\,d^nx-\int_{\mathbb R_+^n - B_+(\lambda \epsilon)} f(\mathbf{x};0)\,d^nx$$ 在 $\epsilon\to 0^+$ 时候有限，其中为球心位于原点的半径为 $\lambda \epsilon$ 球与 $\mathbb R_+^n$ 的交 $B_+(\lambda \epsilon):=\{|\mathbf x|<\lambda \epsilon\}\cap \mathbb R_+^n$ ，而 $\lambda$ 为任意正数。并且，上述积分的有限差值可以表示为 $I_1+I_2$ ，其中 $$I_1=\int_{B_+(\lambda)}f_0(\mathbf{x};1)\,d^nx,\quad I_2=\int_{\mathbb R_+^n - B_+(\lambda)} (f_0(\mathbf x;1)-f_0(\mathbf x;0))\,d^nx$$ 为 $f_0$ 的积分。

我们可以用其他区域来替换 $B_+(\lambda \epsilon)$ ，比方说，取边长为 $\epsilon$ 的正方体 $[0,\epsilon]^n:=\{ 0<x_i<\epsilon \text{ for }1\leq i\leq n\}$ . 这是因为存在 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 使得 $B_+(\lambda_1\epsilon)\subset [0,\epsilon]^n\subset B_+(\lambda_2\epsilon)$ 对任意的 $\epsilon$ 都成立。

一般来说，在积分中，因为费曼参数在边界的行为并不会那么简单，他可能在许多边界处产生发散，所以我们可以整个 $\mathbb R^n_{+}$ 拆成 $3^n$ 个区域，每个区域 $$I_\alpha:=I_{\alpha_1}\times \cdots \times I_{\alpha_n},$$ 用一个向量 $\{\alpha_i\}$ 表示，其中 $\alpha_i=0,\pm 1$ ，而 $I_{-1}:=(1/\epsilon,\infty)$ , $I_{0}:=(\epsilon,1/\epsilon)$ 以及 $I_1:=(0,\epsilon)$ . 接着，将被积函数适当重写为 $$\int_{\mathbb R_+^n} f(\mathbf{x};\epsilon)\,\prod_{i=1}^n d\log x_i$$ 这里我们复用一下符号 $f$ . 如果必要，对 $\alpha_i=-1$ ，可以通过积分变换 $x_i\to 1/x_i$ 就可以将相应的 $I_{-1}$ 变为 $I_1$ ，但这会改变 $f$ . 对给定的 $\alpha$ ，其中 $\alpha_i$ 的指标 $i$ 的集合记作 $\alpha_0$ ，为 $1$ 的指标集合记作 $\alpha_+$ ，为 $-1$ 的指标集合记作 $\alpha_-$ ，那么 $$\int_{I_0^{|\alpha_0|}}\prod_{i\in \alpha_0} d\log x_i\, \int\prod_{i\in \alpha_\pm} d\log x_i \, f(\mathbf{x};\epsilon)\,$$ 从上面的命题，我们知道，如果当 $\epsilon\to t\epsilon$ 且对 $i\in \alpha_\pm$ 有 $x_i\to t^{\pm 1}x_i$ 时， $f(\mathbf{x};\epsilon)= t^k f_0(\mathbf{x};\epsilon)+O(t^{k+1})$ ，则当 $k\geq 0$ ，里侧的积分具有量级 $O(\epsilon^k)$ . 如果外侧的积分发散形如 $\log(\epsilon)^l$ （基本上就是我们的情况），则我们可以断言，如果 $k>0$ ，则这个 $I_{\alpha}$ 不贡献。我们将这个 $k$ 记作 $k(\alpha)$ . 如果出现 $k(\alpha)<0$ ，则意味着积分有着 $1/\epsilon^{-k(\alpha)}$ 型的发散，从物理上，我们已经得知积分只有 $\log(\epsilon)$ 的幂次的发散，所以不会出现这样的情况。

最后，考虑所有贡献的 $\alpha\neq (0,\dots,0)$ ，其集合为 $\Phi_f$ （如果 $f$ 显明，我们略去下标），于是我们分解积分为 $$\begin{aligned} \int_{\mathbb R_+^n} f(\mathbf{x};\epsilon)\,\prod_{i=1}^n d\log x_i=&\,\sum_{\alpha\in \Phi}\int_{I_\alpha} f(\mathbf{x};\epsilon)\,\prod_{i=1}^n d\log x_i+\sum_{\alpha\not\in \Phi} \int_{I_\alpha}(f(\mathbf{x};\epsilon)-f(\mathbf{x};0))\,\prod_{i=1}^n d\log x_i\\ &+\sum_{\alpha\not\in \Phi} \int_{I_\alpha}f(\mathbf{x};0)\,\prod_{i=1}^n d\log x_i \end{aligned},$$ 右侧第一个积分都可以通过 $x_i\to x_i\epsilon^{\alpha_i}$ 来保留到 $\epsilon^0$ ，当然相应的上下限都要改动，第二项我们后面讨论，第三项最容易积分。发散只会来自于第二项和第三项，而最高阶的发散只来自于第三项。

回到2-mass easy的一圈四边形积分， $$\int_{\mathbb R_+^3}d^3a\frac{1}{(a_1a_2 m_1^2+a_1a_3s+a_2t+a_3m_3^2-(a_1+a_2+a_3+1)^2\gamma)^2},$$ 不难分析得到 $$\Phi=\{(0, -1, -1), (0, 1, 1)\},$$ 对应的区域是 $(a_2,a_3)\in [0,\gamma]^2$ 和 $(a_2,a_3)\in [1/\gamma,\infty]^2$ . 我们先关心发散，他由分解中最后一项给出 $$\begin{aligned} \int_{\mathbb R_+^2-[0,\gamma]^2-[1/\gamma,\infty]^2}&d^2a\int_{0}^\infty \frac{da_1}{(a_1a_2 m_1^2+a_1a_3s+a_2t+a_3m_3^2)^2}\\ &= \int_{\mathbb R_+^2-[0,\gamma]^2-[1/\gamma,\infty]^2}\frac{d^2a}{\left(a_2 m_1^2+a_3 s\right) \left(a_3 m_3^2+a_2 t\right)} \end{aligned}$$ 的发散部分给出。注意到 $$\int_{\mathbb R_+^2-[0,\gamma]^2-[1/\gamma,\infty]^2}d^2a=\int_{\gamma}^\infty da_3\int_{0}^\gamma da_2+\int_{0}^\infty da_3\int_{\gamma}^{1/\gamma} da_2+\int_{0}^{1/\gamma} da_3\int_{1/\gamma}^\infty da_2$$ 直接的计算给出积分最高阶的发散为（第一第三项积分结果不依赖于 $\gamma$ ） $$\frac{2}{s t-m_1^2 m_3^2}\log \left(\frac{m_1^2 m_3^2}{s t}\right)\log(\gamma),$$ 于是我们可以知道维数正规化 $D=4-2\epsilon$ 的结果中，最高阶的发散为 $$\frac{1}{\epsilon}\frac{2}{s t-m_1^2 m_3^2}\log \left(\frac{m_1^2 m_3^2}{s t}\right).$$ 再举个2-mass hard的一圈四边形积分，费曼参数化与2-mass easy的一圈四边形积分相同，但是 $x_{ij}:=(x_i-x_j)^2$ 的条件不同，被积函数如下 $$\int_{\mathbb R_+^3}d^3a\frac{1}{(a_1 a_2 x_{12}+a_1 a_3 x_{13}+a_1 x_{14}+a_2 x_{24}-\gamma (a_1+a_2+a_3+1)^2)^2}.$$ 容易计算得 $$\Phi=\{(0,-1,-1),(1,1,0)\}.$$ 这里我们引入一个技巧，考虑变量变换 $$b_i=\prod_{j=1}^n a_j^{N_{ij}},$$ 其中 $N$ 是可逆的有理矩阵（最好是整数矩阵），于是 $$\bigwedge_{i=1}^n d\log b_i=\bigwedge_{i=1}^n\sum_{j=1}^n N_{ij}d\log a_j = \det(N) \bigwedge_{i=1}^n d\log a_i,$$ 如果 $a_i\to t^{\alpha_i}a_i$ ，则 $$b_i\to t^{(N \alpha)_i} b_i,$$ 这意味着如果 $\alpha\in \Phi_f$ ，对变量替换后的新被积函数 $f'$ ，则有 $N \alpha\in \Phi_{f'}$ . 当然我们这里还是要保证 $(N\alpha)_i\in \{-1,0,1\}$ . 对2-mass hard的一圈四边形积分，我们可以令 $\{b_1=a_1,b_2=a_1/a_2,b_3=a_1 a_3/a_2\}$ . 这样， $$\Phi_{f'}=\{(0,1,0),(1,0,0)\},$$ 如果我们只关注发散，那么先令 $\gamma\to 0$ ，再把 $b_3$ 积掉，可以得到 $$\int_{\gamma}^\infty\int_{\gamma}^\infty \frac{db_1db_2}{b_1 b_2 x_{13} (b_1 x_{12}+b_2 x_{14}+x_{24})}$$ 他的发散为 $$\frac{1}{x_{13}x_{24}}\log(\gamma)^2-\frac{1}{x_{13} x_{24}}\log \left(\frac{x_{24}^2}{x_{12} x_{14}}\right)\log(\gamma)$$ 已经捕获了2-mass hard的一圈四边形积分绝大部分的发散，其中最高阶的发散是正确的。

现在我们讨论一下，展开式 $$\begin{aligned} \int_{\mathbb R_+^n} f(\mathbf{x};\epsilon)\,\prod_{i=1}^n d\log x_i=&\,\sum_{\alpha\in \Phi}\int_{I_\alpha} f(\mathbf{x};\epsilon)\,\prod_{i=1}^n d\log x_i+\sum_{\alpha\not\in \Phi} \int_{I_\alpha}(f(\mathbf{x};\epsilon)-f(\mathbf{x};0))\,\prod_{i=1}^n d\log x_i\\ &+\sum_{\alpha\not\in \Phi} \int_{I_\alpha}f(\mathbf{x};0)\,\prod_{i=1}^n d\log x_i \end{aligned},$$ 中的第一第二项如何进行积分。对第一项中对应于 $\alpha$ 的项，容易改写为 $$\int_{I_\alpha} f(\mathbf{x};\epsilon)\,\prod_{i=1}^n d\log x_i \to \int_{I_0^{|\alpha_0|}}\prod_{i\in \alpha_0} d\log x_i\, \int\prod_{i\in \alpha_\pm} d\log x_i \, f_0(\mathbf{x};1)\,$$ 前面既已改写为 $d\log$ ，这里 $f_0(\mathbf x;\epsilon)$ 是 $f(\mathbf x;\epsilon)$ 在 $x_i\to t^{\alpha_i}x_i$ 以及 $\epsilon\to t\epsilon$ 下的 $t^0$ 项。积分限的话，如果 $i\in \alpha_+$ 就是 $[0,1]$ ，如果 $i\in \alpha_-$ 就是 $[1,\infty]$ .

接着我们看第二项，由于 $f(\mathbf{x};\epsilon)-f(\mathbf{x};0)$ 在远离 $I_\alpha$ 的边界的时候，其中 $\alpha\in \Phi$ ，至多只有 $O(\epsilon)$ 的贡献，所以我们需要在靠近 $I_\alpha$ 时考虑整个积分。我们断言，这部分在 $\epsilon\to 0$ 时候等于 $$\int_{I_\alpha}(f_0(\mathbf{x};1)-f_0(\mathbf{x};0))\,\prod_{i=1}^n d\log x_i=\int_{I_0^{|\alpha_0|}}\prod_{i\in \alpha_0} d\log x_i\, \int\prod_{i\in \alpha_\pm} d\log x_i \, (f_0(\mathbf{x};1)-f_0(\mathbf x;0))\,$$ 这里对 $i\in \alpha_+$ 就是 $[1,\infty]$ ，如果 $i\in \alpha_-$ 就是 $[0,1]$ ，那么这里的第一项加上分解中的第一项，即 $$\int_{I_0^{|\alpha_0|}}\prod_{i\in \alpha_0} d\log x_i\, \int_{\mathbb R_+^{|\alpha_-|+|\alpha_+|}}\prod_{i\in \alpha_\pm} d\log x_i \, f_0(\mathbf{x};1)$$ 这个积分当然是发散的，剩下的积分 $$-\int_{I_0^{|\alpha_0|}}\prod_{i\in \alpha_0} d\log x_i\, \int\prod_{i\in \alpha_\pm} d\log x_i \, f_0(\mathbf x;0)\,$$ 仅用来消去这个发散。由于这个发散是假的，所以只要选取适当的临时正规化，比如适当截断相应的上下界，就容易计算出这个积分。总结一下，分解为 $$\begin{aligned} \int_{\mathbb R_+^n} f(\mathbf{x};\epsilon)\,\prod_{i=1}^n d\log x_i \to & \sum_{\alpha\in \Phi}\int_{\epsilon}^{1/\epsilon}\prod_{i\in \alpha_0} d\log x_i\, \int_0^\infty\prod_{i\in \alpha_\pm} d\log x_i \, f_0(\mathbf{x};1)\,\\ &-\sum_{\alpha\in \Phi} \int_{\epsilon}^{1/\epsilon}\prod_{x\in \alpha_0} d\log x_i\int_{1}^\infty\prod_{x\in \alpha_+} d\log x_i\int_0^1\prod_{x\in \alpha_-} d\log x_i\,f_0(\mathbf{x};0)\\ &+\sum_{\alpha\not\in \Phi} \int_{I_\alpha}f(\mathbf{x};0)\,\prod_{i=1}^n d\log x_i, \end{aligned}$$ 这里积分限相同的我们就直接写到积分号上了。

我们现在来算完 2-mass easy的一圈四边形 $$\int_{\mathbb R_+^3}d^3a\frac{1}{(a_1a_2 m_1^2+a_1a_3s+a_2t+a_3m_3^2-(a_1+a_2+a_3+1)^2\gamma)^2},$$ 记得有 $$\Phi=\{(0, -1, -1), (0, 1, 1)\}.$$ 我们重新用一下小技巧，令 $\{a_2\to a_2a_3,a_3\to a_3/a_2\}$ ，这样新的 $\Phi$ 为 $$\Phi=\{(0, 0, -1), (0, 0, 1)\}.$$ 注意到Jacobian会多一个因子 $2$ ，令 $\gamma\to 0$ ，依然考虑分解中最后一项，容易写出 $$2\int_0^\infty da_1\int_0^\infty da_2\int_{\gamma}^{1/\gamma} da_3\frac{a_2}{a_3 \left(a_1 \left(a_2^2 m_1^2+s\right)+a_2^2 t+m_3^2\right)^2}=\frac{2}{s t-m_1^2 m_3^2}\log \left(\frac{m_1^2 m_3^2}{s t}\right)\log(\gamma).$$ 然后考虑两个 $I_{\alpha}$ 的贡献，在 $I_{(0,0,1)}$ 附近， $$f_{(0,0,1);0}=\frac{2 a_2 a_3}{\left(-\gamma a_2 \left(a_1+1\right){}^2 +a_3 \left(a_1 s+m_3^2\right)+a_2^2 a_3 \left(a_1 m_1^2+t\right)\right)^2},$$ 在 $I_{(0,0,-1)}$ 附近， $$f_{(0,0,-1);0}=\frac{2 a_2^3}{a_3 \left(-\gamma a_3 a_2^4 -2 a_3 a_2^2 \gamma -a_3 \gamma +a_1 a_2 \left(a_2^2 m_1^2+s\right)+a_2 m_3^2+a_2^3 t\right)^2}.$$ 分别令 $\gamma=1$ 和 $0$ ， $\gamma=0$ 为 $\gamma=1$ 消去 $a_3\to \infty$ 或者 $a_3\to 0$ 处的发散，我们把分积完，得到 $$\frac{2}{s t-m_1^2 m_3^2}\biggl(\mathrm{Ls}_{-1}^{\text{2me}}\left(t, s ; m_1^2, m_3^2\right)-\frac{1}{2} \log ^2\left(-m_1^2\right)-\frac{1}{2} \log ^2\left(-m_3^2\right)+\frac{\log ^2(-s)}{2}+\frac{\log ^2(-t)}{2}\biggr),$$ 其中 $$\begin{aligned} \mathrm{Ls}_{-1}^{\text{2me}}\left(t, s ; m_1^2, m_3^2\right)=-\mathrm{Li}_{2}\left(1-\frac{m_1^2}{t}\right) &-\mathrm{Li}_{2}\left(1-\frac{m_1^2}{s}\right)-\mathrm{Li}_{2}\left(1-\frac{m_3^2}{t}\right)-\mathrm{Li}_{2}\left(1-\frac{m_3^2}{s}\right) \\ +& \mathrm{Li}_{2}\left(1-\frac{m_1^2 m_3^2}{t s}\right)-\frac{1}{2} \log ^{2}\left(\frac{-t}{-s}\right) . \end{aligned}$$ 所以总的结果为， $$\frac{2}{s t-m_1^2 m_3^2}\biggl(\mathrm{Ls}_{-1}^{\text{2me}}\left(t, s ; m_1^2, m_3^2\right)+\log \left(\frac{m_1^2 m_3^2}{s t}\right)\log(\gamma)-\frac{1}{2} \log ^2(-m_1^2)-\frac{1}{2} \log ^2(-m_3^2)+\frac{\log ^2(-s)}{2}+\frac{\log ^2(-t)}{2}\biggr).$$ 而这就完整地计算得到了熟知的费曼参数化的结果 $$\frac{2}{s t-m_1^2 m_3^2} \left(\mathrm{Ls}_{-1}^{\text{2me}}\left(t, s ; m_1^2, m_3^2\right)+\frac{-\left(-m_1^2\right){}^{-\epsilon}-\left(-m_3^2\right){}^{-\epsilon}+(-s)^{-\epsilon}+(-t)^{-\epsilon}}{\epsilon^2}\right).$$