约束体系

我们经常要面临约束体系的哈密顿形式化，首先我们要明白约束经常是自然出现的。

粒子在电磁场中运动的一个例子

已经知道，电磁场中的电荷的 Lagrangian 写作 $$L_t=-mc^2\sqrt{1-\frac{\mathbf{v}^2}{c^2}}+e \mathbf{A}\cdot\mathbf{v}-e\varphi,$$ 如果磁场足够大，那么就可以无视掉动能项，只留下 $$L_t=e \mathbf{A}\cdot\mathbf{v}-e\varphi,$$ 假设磁场是匀强，且方向为 $\hat{\mathbf{z}}$ ，设 $$\mathbf{A}=\frac{B_0}{2}(x\hat{\mathbf{y}}-y\hat{\mathbf{x}})-e\varphi,$$ 所以 $$L_t=\frac{eB_0}{2} (x\dot{y}-y\dot{x})-e\varphi.$$ 假设 $\varphi$ 不显含 $z$ 坐标，这样就可以顺便无视掉 $\hat{\mathbf{z}}$ 方向的匀速运动。我们考察这样一个二维系统。首先 Lagrange 方程写作 $$B_0 \dot{y}=\partial_x \varphi,\quad B_0 \dot{x}=-\partial_y \varphi.$$ 这就是正确的运动方程。

按照标准的 Legendre 变换，先计算正则动量 $$p_x=\partial_{\dot{x}}L_t=-\frac{eB_0}{2}y,\quad p_y=\partial_{\dot{y}}L_t=\frac{eB_0}{2}x.$$ 然后 $$H=p_x\dot{x}+p_y\dot{y}-L_t=\frac{eB_0}{2}(x\dot{y}-\dot{x}y)-L_t=e\varphi(x,y).$$ 不用继续做下去了，首先 $\dot{x}$ 和 $\dot{y}$ 不能用 $p_x$ 和 $p_y$ 反解出来，此外，即使写出了 Hamiltonian ，因为他不显含正则动量，利用正则方程得到的运动方程是 $\dot{x}=0$ 和 $\dot{y}=0$ ，显然这和上面使用 Lagrange 方程确定的正则方程是不同的。

重新审视正则动量 $p_x=-eB_0y/2$ 和 $p_y=eB_0x/2$ ，他所有的变量不是正则坐标就是正则动量，所以这两个方程 $$f_1(x,y,p_x,p_y)=p_x+\frac{eB_0}{2}y=0,$$ $$f_2(x,y,p_x,p_y)=p_y-\frac{eB_0}{2}x=0,$$ 在相空间确定了一个曲面，而 Hamiltonian 是在这个曲面上写成 $e\varphi(x,y)$ .因此，在整个相空间上， Hamiltonian 具有形式 $$H=e\varphi+\eta_1 f_1+\eta_2 f_2.$$ 这样去写正则方程，给出 $$\dot{p}_x=-\partial_x H=-e\partial_x \varphi-f_1\partial_x\eta_1-f_2\partial_x\eta_2+\frac{eB_0}{2}\eta_2,$$ $$\dot{x}=\partial_{p_x} H=f_1\partial_{p_x}\eta_1+f_2\partial_{p_x}\eta_2+\eta_1,$$ 代入约束 $f_1=0, f_2=0$ ，那么给出第一组正则方程为 $$\dot{p}_x=-e\partial_x \varphi+\frac{eB_0}{2}\eta_2,\quad \dot{x}=\eta_1,$$ 同理可以给出第二组曲面上的正则方程 $$\dot{p}_y=-e\partial_x \varphi-\frac{eB_0}{2}\eta_1,\quad \dot{y}=\eta_2.$$ 再利用约束 $p_x=-eB_0y/2$ 和 $p_y=eB_0x/2$ ，就得到了 $$-\frac{eB_0}{2}\dot{y}=-e\partial_x \varphi+\frac{eB_0}{2}\dot{y},$$ $$\frac{eB_0}{2}\dot{x}=-e\partial_y \varphi-\frac{eB_0}{2}\dot{x},$$ 这正是正确的运动方程。

电磁场

也许上面一个系统是因为我们无视掉了二次的动能项而导致的约束，那么电磁场的约束更加本质而且难以避免，即 $F^{00}=0$ 。

写出电磁场的 Lagrangian 密度 $$\mathcal{L}(A_\mu,\partial_\nu A_\mu)=-\frac{1}{16\pi}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-1A_\mu J^\mu,$$ 求其对偶场 $$\Pi^\mu=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot A_\mu}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_0A_\mu}=-\frac{1}{8\pi}F^{\rho\nu}\frac{\partial}{\partial \partial_0A_\mu}F_{\rho\nu}=-\frac{1}{4\pi}F^{0\mu},$$ 所以有自然的约束 $\Pi^\mu=0$ .这就意味着接下来如果用 $$H=\int\mathrm{d}^4 x\, \left(\Pi^\mu\dot{A}_\mu-\mathcal{L}\right)$$ 来写出 Hamiltonian 时，无法用 $\Pi^\mu$ 和 $A_\mu$ 解出全部的 $\dot{A}_\mu$ .

问题的解决： Dirac 括号

假设一些数学上可能出现的问题这里都不会出现，再假设系统的 Hamiltonian 不含时，即这是一个能量守恒系统。对于经典力学而言，广义动量和广义坐标之间的约束就是确定了一个相空间之中的曲面，如果（至少在局部）能够选取新的广义动量和广义坐标，那么我们就又得到了一个无约束系统，他的运动方程直接由新坐标和动量的正则方程确定，这样、就解决了约束问题。这节的主要内容基于 Toshihide Maskawa 和 Hideo Nakajima 的论文 Singular Lagrangian and the Dirac-Faddeev Method— Existence Theorem of Constraints in ‘Standard Form’.

为描述Hamilton力学，辛几何是方便的。辛几何默认存在了一个闭的非退化2-形式 $$\Omega=-\sum_{i=1}^n\mathrm{d}p^i\wedge \mathrm{d}q^i,$$ 通过这个2-形式，可以定义一个从光滑函数到矢量场的映射 $f\mapsto X_f$ 通过 $$\Omega(X_f,Y)=\mathrm{d}f(Y)=Yf,$$ 其中 $Y$ 是任意矢量场，而 $f$ 是一个光滑函数。

在局部，选取一个坐标卡，2-形式 $\Omega$ 写作 $$\Omega=\frac{1}{2}\Omega_{ij} \mathrm{d}x^i\wedge \mathrm{d}x^j,$$ 其中 $\Omega_{ij}=[x^i,x^j]$ ，不妨再通过 $\Omega^{ij}\Omega_{jk}=-\delta^i_k$ 定义 $\Omega^{ij}$ ，这样 $X_f$ 就写作 $$X_f=\Omega^{ij}\partial_j f\partial_i.$$ 对于这样一个矢量场，可以通过 $$\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0}g_f^t(x)=X_f(x)$$ 给出他的相流（单参同胚映射） $g_f^t$ .

通过2-形式 $\Omega$ ， Possion 括号就可以写成坐标无关的形式 $$[f,g]_{\mathrm{P}}=\Omega(X_f,X_g)=-X_fg.$$ 使用 Possion 括号，则 $$\Omega^{ij}=\bigl[x^i,x^j\bigr]_{\mathrm{P}},\quad X_f=-[f,x^i]\partial_i,$$ 且 Possion 括号和矢量场之间的Lie括号的关系为 $$[X_f,X_g]=-X_{[f,g]_{\mathrm{P}}}.$$ 靠着相流的语言，可以证明 $$[F,G]_{\mathrm{P}}(x)=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0}F\bigl(g_G^t(x)\bigr),$$ 如果 $[F,G]_{\mathrm{P}}=0$ ，则称 $F$ 和 $G$ 相互对合。从相流方面来看， $F$ 和 $G$ 相互对合就是指 $F$ 是 $G$ 的相流的首次积分，这个很容易从上面式子的右侧看出来，同时，因为 $[G,F]_{\mathrm{P}}=-[F,G]_{\mathrm{P}}=0$ ，所以 $G$ 也是 $F$ 的相流的首次积分，因此称为相互。

现在有 $N$ 个约束 $\{f^i\}$ ，他决定了一个曲面 $M=M(f)$ ，我们只考虑矩阵 $[f^i,f^j]_{\mathrm{P}}$ 在 $M$ 上的限制 $[f^i,f^j]_{\mathrm{P}}|_M$ 常秩的情况，设他的秩为 $m$ 。适当对约束进行线性组合，不妨将 $[f^i,f^j]_{\mathrm{P}}|_M$ 看作块对角矩阵，除去右下角的 $m\times m$ 矩阵之外的矩阵元都是0，他的行列式不为0，但因为他是反对称的，所以 $m$ 必须是偶数，记 $m=2s$ 以及 $r=N-2s$ ，此时我们称这个约束 $M$ 是 $(r,s)$ 型约束。其中 $r$ 指的是第一类约束，对应于 $[f^i,\eta]_{\mathrm{P}}|_M=0$ 的情况，其中 $\eta=a_if^i$ ， $a_i$ 是任意函数。而 $s$ 指的是第二类约束，即除了第一类约束的约束。

现在假设有 $(r,s)$ 型约束 $\{\phi^i,\psi^\alpha\}$ ，其中 $\{\phi^i\}$ 是第一类约束，而 $\{\psi^\alpha\}$ 是第二类约束，定义 $$V=\{c_i\phi^i+d_\alpha \psi^\alpha: c_i,\,d_\alpha\text{ are arbitrary functions.}\},$$ 那么 $$A=\{g: [g,V]_{\mathrm{P}}\subseteq V\}$$ 是那些满足 $[g,V]_{\mathrm{P}}|_M=0$ 的函数的集合，他构成一个代数，加法乘法显然，至于 Possion 括号来自于 Jacobi 恒等式。可以看到，第一类约束属于 $V_0=A\cap V$ .他是 $A$ 的子代数且满足 $AV_0\subseteq V_0$ 和 $[A,V_0]_{\mathrm{P}}\subseteq V_0$ ，所以 $V_0$ 是 $A$ 的理想，可以顺便搞一个商代数 $A^*=A/V_0$ .值得一提的是，在 $V_0$ 中还能有第二类约束的高阶项。

设第一类约束 $\phi^i$ 以及 $f\in A$ ，则 $[f,\phi^i]_{\mathrm{P}}|_M=0$ 。反过来，如果有一个函数 $g$ 满足 $g|_M=f|_M$ 且对所有的第一类约束都有 $[g,\phi^i]_{\mathrm{P}}|_M=0$ ，可以计算有 $$[g,\psi^\alpha]_{\mathrm{P}}|_M=[g,\psi^\mu]_{\mathrm{P}}|_M\delta^{\alpha}_{\mu},$$ 定义矩阵 $D_{\mu\nu}$ 是矩阵 $[\psi^\mu,\psi^\nu]_{\mathrm{P}}$ 的逆矩阵，即满足 $D_{\mu\nu}[\psi^\nu,\psi^\alpha]_{\mathrm{P}}=\delta_{\mu}^{\alpha}$ ，那么 $$[g,\psi^\alpha]_{\mathrm{P}}|_M=\bigl([g,\psi^\mu]_{\mathrm{P}}D_{\mu\nu}[\psi^\nu,\psi^\alpha]_{\mathrm{P}}\bigr)|_M,$$ 构造 $$g^*=g-[g,\psi^\mu]_{\mathrm{P}}D_{\mu\nu}\psi^\nu,$$ 容易验证 $[g^*,\psi^\mu]_{\mathrm{P}}|_M=0$ ，即 $g^*\in A$ ，以及 $g^*|_M=g|_M=f_M$ ，所以 $g^*$ 和 $f$ 最多只是差了一个 $V_0$ 中的元素，而在 $A^*$ 是唯一确定的。这样我们就看到，所有满足 $[g,\phi^i]_{\mathrm{P}}|_M=0$ 中的函数 $g$ 都唯一确定了 $A^*$ 中的元素 $g^*$ 。

下面首先要消除所有的第一类约束。

Theorem 1: 如果 $M$ 是 $(r,s)$ 型约束，那么存在一套正则坐标使得 $$M=M(q^1,\cdots,q^{r+s};p^{r+1},\cdots,p^{r+s}).$$ 即 $M$ 由方程 $q^1=0,\cdots,q^{r+s}=0$ 和 $p^{r+1}=0,\cdots,p^{r+s}=0$ 确定。

这个定理在原则上将一大类约束简化到了某些正则坐标为0的情况。对于原本的约束 $M=M(\phi^1,\cdots,\phi^{r};\psi^{1},\cdots,\psi^{2s})$ ，应该有 $$\phi^i=\sum_{j=1}^rA^i_jq^j+\sum_{k=1}^{2s}B^i_k\xi^k,$$ 其中 $\{\xi^k\}=\{q^{r+1},\cdots,q^{r+s},p^{r+1},\cdots,p^{r+s}\}$ ，以及 $B^i_k\in A$ 且 $\det(A^i_j)\neq 0$ .

如果函数 $f$ （当然最重要的就是 $H$ ）满足 $[f,\phi^i]_{\mathrm{P}}|_M=0$ ，那么 $$[f,\phi^i]_{\mathrm{P}}|_M=\sum_{j=1}^rA^i_j|_M[f,q^j]_{\mathrm{P}}|_M=-\sum_{j=1}^rA^i_j|_M\left.\frac{\partial f}{\partial p^j}\right|_M,$$ 所以 $$\left.\frac{\partial f}{\partial p^j}\right|_M=0.$$ 对所有 $j\leq r$ 成立，而 $p^j$ 不是约束，那么 $$\frac{\partial f|_M}{\partial p^j}=\left.\frac{\partial f}{\partial p^j}\right|_M=0,$$ 这就是说 $f|_M$ 不显含 $p^j$ ，所以我们可以对 $j\leq r$ 取 $p^j=0$ .设对 $j\leq r$ 选定 $p^j=0$ 构成的约束为 $M'$ ，那么系统就应该在约束 $M_0=M'\cap M=M_0(q^1,\cdots,q^{r+s};p^1,\cdots,p^{r+s})$ 内，这是一个 $(0,r+s)$ 型约束。这样我们就通过添加几个约束消去了全部的第一类约束。对任意的 $g$ 都可以通过 $$g^*=g-[g,\psi^\mu]_{\mathrm{P}}D_{\mu\nu}\psi^\nu$$ 构造一个 $A^*$ 中的元素 $g^*$ . 他对 $i\leq r+s$ 成立 \[ \begin{equation} g^*|_{M_0}=g|_{M_0},\quad \left.\frac{\partial g^*}{\partial q^i}\right|_{M_0}=\left.\frac{\partial g^*}{\partial p^i}\right|_{M_0}=0. \label{s2:3} \end{equation} \] 所以 $g^*$ 就可以看成形式上无约束系统的物理量。

更一般地，如果系统已经选定了一套坐标 $\{\chi^1,\cdots,\chi^r,\eta^{r+1},\cdots,\eta^{2n}\}$ ，如果在 $M$ 只有 $[\chi^i,\phi^j]_{\mathrm{P}}$ 可能不为零，那么按照上面的思路 $$[f,\phi^i]_{\mathrm{P}}|_M=\sum_{j=1}^r\left.\frac{\partial f}{\partial \chi^j}\right|_M[\chi^j,\phi^i]_{\mathrm{P}}|_M=0,$$ 如果附加条件 $\det\bigl([\chi^j,\phi^i]_{\mathrm{P}}\bigr)|_M\neq 0$ ，那么自然就有 $$\frac{\partial f|_M}{\partial \chi^j}=\left.\frac{\partial f}{\partial \chi^j}\right|_M=0,$$ 于是可以选定 $\chi^j=0$ .此时 $(0,r+s)$ 型约束写作 $M_0\bigl(\psi^{1},\cdots,\psi^{2(r+s)}\bigr)$ 。这种约束最常见的是某个正则坐标为常数的情况，对于这种约束，直接将他的对偶坐标取作零即可。

运动方程的确定靠 Possion 括号，正如前面知道的，在没有约束的时候，运动方程写作 $\dot{p}=[p,H]_{\mathrm{P}}$ 。因为现在处理是约束系统，对物理量而言，需要改成形式上没有约束的物理量，这样我们应该处理的是 $[f^*,g^*]_{\mathrm{P}}|_{M_0}$ ，直接计算易得 $$[f^*,g^*]_{\mathrm{P}}|_{M_0}=\bigl([f,g]_{\mathrm{P}}-[f,\psi^\mu]_{\mathrm{P}}D_{\mu\nu}[\psi^\nu,g]_{\mathrm{P}}\bigr)|_{M_0},$$ 定义所谓的 Dirac 括号 $[*,*]_{\mathrm{D}}$ 如下 $$[f,g]_{\mathrm{D}}=[f,g]_{\mathrm{P}}-[f,\psi^\mu]_{\mathrm{P}}D_{\mu\nu}[\psi^\nu,g]_{\mathrm{P}},$$ 他满足 $$[f,g]_{\mathrm{D}}|_{M_0}=[f^*,g^*]_{\mathrm{P}}|_{M_0}.$$ 如果采用约束的标准形式 $M_0(q^1,\cdots,q^{r+s};p^1,\cdots,p^{r+s})$ ，此时 Dirac 括号 $[*,*]_{\mathrm{D}}$ 写作 \[ \begin{equation} [f,g]_{\mathrm{D}}|_{M_0}=\sum_{i=r+s+1}^{n}\left(\frac{\partial f|_{M_0}}{\partial q^i}\frac{\partial g|_{M_0}}{\partial p^i}-\frac{\partial f|_{M_0}}{\partial p^i}\frac{\partial g|_{M_0}}{\partial q^i}\right), \label{s2:5} \end{equation} \] 可以看到这就是对于后 $n-(r+s)$ 组正则变量的 Possion 括号。 结合\eqref{s2:3}和\eqref{s2:5}，我们所做的就是对约束系统选取了一套正则坐标，使得他形式上变成了没有最后几组正则坐标的无约束系统一样。

总结一下Hamilton形式化一个约束系统的步骤，首先写出所有约束，然后加进几个新的约束去掉所有的第一类约束，最后计算出 Dirac 括号就可以得到正确的运动方程。

回到强匀强磁场中的电荷的例子，两个约束分别为 $$f_1=p_x+\frac{eB_0}{2}y,$$ $$f_2=p_y-\frac{eB_0}{2}x,$$ 因为 $[f_1,f_2]_{\mathrm{P}}=eB_0\neq 0$ ，所以他们都是第二类约束，直接的计算就得到了 $$D=\frac{1}{eB_0}\begin{pmatrix} &-1\\ 1& \end{pmatrix}$$ 然后运动方程应该为 $$\begin{aligned} \dot{p}_x&=[p_x,H]_{\mathrm{D}}\\ &=[p_x,H]_{\mathrm{P}}-[p_x,f_1]_{\mathrm{P}}D_{12}[f_2,H]_{\mathrm{P}}-[p_x,f_2]_{\mathrm{P}}D_{21}[f_1,H]_{\mathrm{P}}\\ &=-\frac{e}{2}\partial_x \varphi, \end{aligned}$$ 代入约束 $p_x=-eB_0y/2$ 就得到一个运动方程 $$B_0\dot{y}=\partial_x \varphi.$$ 剩下一个运动方程同理由 $\dot{p}_y=[p_y,H]_{\mathrm{D}}$ 给出。

尽管这里的全部内容都是在经典力学框架内的，但是通过导数到变分算符的转变，可以将其完全形式地移动到场论中去。对于约束系统场的量子化， Possion 括号与对易子的转变这里应该改成 Dirac 括号与对易子的改变。

Buwai Lee

交换图都不会画的魔法师