粒子统计

本文主要讨论粒子统计(即全同粒子体系分为费米子和玻色子两种),是 Weinberg I 的第 4.1 节的内容的笔记,所以记号习惯也遵循 Weinberg,而其中特别重要的那些将会在后文中提及。

本文默认在 3+1 维时空中讨论问题,所以对有质量粒子的 little group 为 SU(2)\operatorname{SU}(2) ,对无质量粒子的 little group 为 U(1)\operatorname{U}(1) ,后面会看到,粒子统计依赖于单粒子的 little group. 所以,当我们来到二维世界,时空对称性群含单位元的连通分支为 SO(2,1)\operatorname{SO}(2,1) ,它的基本群是 Z\mathbb{Z} ,远比 Poincareˊ\text{Poincar\'{e}} 群的基本群 Z2\mathbb{Z}_2 要大。这也就意味着我们考虑其 projective representation 的时候要考虑一个很大的万有覆叠群,而 little group 是其子群。如此粗略的讨论告诉我们,二维空间的统计可能与本文讨论的统计非常不同,事实也正是如此,不同于费米和玻色子的 anyon 至今依然是一个很紧俏的名词。

在 Weinberg I 的 第 9.7 节重新讨论了全同粒子的统计,那里使用了路径积分的方法,不依赖时空的维度,那里也可以看到时空的拓扑是如何影响统计的。不过,我还是留有一个疑惑,时空的拓扑和时空的对称性(这里是 little group),两者都可能影响粒子的统计,那么它们(影响统计的方式)之间的存在联系吗?

约定与基本事实

我们约定如下记号:考虑多粒子态 Ψ,q,\Psi_{\cdots,q,\cdots} ,其中 qq 是所有粒子的可能变量的组,比如 q=(p,σ,n)q=(\mathbf{p},\sigma,n)p\mathbf{p} 是3-动量,而 σ\sigma 是自旋/helicity, nn 是粒子种类。如果写 q+1q+1 或者 q1q-1 ,是指自旋加 11 或减 11 ,其他不变。如果写 Λq\Lambda q ,是指 qq 的四动量 pp 变成 Λp\Lambda p ,其他不变。如果写 qcq^c ,是指粒子种类变成反粒子,其他不变。如果写 q-q ,是指粒子自旋/helicity变成相反数,其他不变。

Ψqi\Psi_{q_i} 的空间为 Hi\mathcal{H}_i ,则多粒子态所处的空间为 H1HN. \mathcal{H}_{1}\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_{N}. 如果需要考虑不同粒子数的态,则可能还需要将这些张量积直和起来。但是,我们没有理由说多粒子态 Ψq1,,qN\Psi_{q_1,\dots,q_N} 就是简单的张量积 Ψq1ΨqN. \Psi_{q_1}\otimes\cdots\otimes \Psi_{q_N}. 因为实验上发现,如果存在 Hi=Hj\mathcal{H}_i=\mathcal{H}_j 的情况,则物理上制备出来的多粒子态的概率分布与简单的张量积是不同的。特别地,我们考虑所有的 Hi\mathcal{H}_i 都相同的情况,即所谓的全同粒子系统。此时,全同粒子假设告诉我们在全同例子体系中,真正的多粒子态应该长什么样。

不管怎么样,考虑 NN 个全同粒子,则多粒子态 Ψq1,,qN\Psi_{q_1,\dots,q_N} 应该是 Ψqτ(1)Ψqτ(N)\Psi_{q_{\tau(1)}}\otimes\cdots\otimes \Psi_{q_{\tau(N)}} 的线性组合,其中 τ\tau 属于粒子集合 {qi:1iN}\{q_i\,:\,1\leq i \leq N\} 的最大对称群,这里为有限群,其实也就是 SNS_N ,所以具有形式 Ψq1,,qN=τSNaτ(q1,,qN)Ψqτ(1)Ψqτ(N) \Psi_{q_1,\dots,q_N}=\sum_{\tau\in S_N}a_\tau(q_1,\dots,q_N)\Psi_{q_{\tau(1)}}\otimes\cdots\otimes \Psi_{q_{\tau(N)}}

在多粒子态的空间中,内积通过张量积自然地拓展过来,此时归一化关系为 (Ψq1ΨqN,Ψq1ΨqN)=i=1Nδ(qiqi)=i=1Nδ3(pipi)δni,niδσi,σi. (\Psi_{q_1}\otimes\cdots\otimes \Psi_{q_N},\Psi_{q'_1}\otimes\cdots\otimes \Psi_{q'_N})=\prod_{i=1}^N \delta(q_i-q'_i)=\prod_{i=1}^N \delta^3(\mathbf{p}_i-\mathbf{p}'_i)\delta_{n_i,n'_i}\delta_{\sigma_i,\sigma'_i}. 对于全同粒子的多粒子态,我们有 (Ψq1,,qN,Ψq1,,qN)=τ,σSNaτ(q1,,qN)aσ(q1,,qN)i=1Nδ(qτ(i)qσ(i)). (\Psi_{q_1,\dots,q_N},\Psi_{q'_1,\dots,q'_N})=\sum_{\tau,\sigma\in S_N}a_\tau(q_{1},\dots,q_{N})^*a_\sigma(q'_{1},\dots,q'_{N})\prod_{i=1}^N \delta(q_{\tau(i)}-q'_{\sigma(i)}). 特别地,如果存在一个 qiq_i{q1,,qN}\{q'_1,\dots,q'_N\} 中所有的态都不同,则 Ψq1,,qN\Psi_{q_1,\dots,q_N}Ψq1,,qN\Psi_{q'_1,\dots,q'_N} 正交。

如果对每一个 Ψqi\Psi_{q_i} ,我们有 Poincareˊ\text{Poincar\'{e}} 群的表示 Ui(Λ,a)U_i(\Lambda,a) ,那么对多粒子态,我们可以定义出一个张量表示 U(Λ,a)Ψq1ΨqN=U1(Λ,a)Ψq1UN(Λ,a)ΨqN. U(\Lambda,a)\Psi_{q_1}\otimes\cdots\otimes \Psi_{q_N}=U_1(\Lambda,a)\Psi_{q_1}\otimes\cdots\otimes U_N(\Lambda,a)\Psi_{q_N}. 所以根据 little group 的表示,我们有(比如这里全是有质量粒子) U(Λ)Ψq1U(Λ)ΨqN=σi=1N(Λp)i0pi0Dσiσiji(W(Λ,pi))Ψ(Λp1,σ1,n1)Ψ(ΛpN,σN,nN). U(\Lambda)\Psi_{q_1}\otimes\cdots\otimes U(\Lambda)\Psi_{q_N}=\sum_{\sigma'}\prod_{i=1}^N \sqrt{\frac{(\Lambda p)^0_i}{p^0_i}}D^{j_i}_{\sigma_i'\sigma_i}(W(\Lambda,p_i))\Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_1,\sigma'_1,n_1)}\otimes \cdots\otimes \Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_N,\sigma'_N,n_N)}. 对无质量粒子,写作 U(Λ)Ψq1U(Λ)ΨqN=i=1N(Λp)i0pi0exp(iσiθ(Λ,pi))Ψ(Λp1,σ1,n1)Ψ(ΛpN,σN,nN). U(\Lambda)\Psi_{q_1}\otimes\cdots\otimes U(\Lambda)\Psi_{q_N}=\prod_{i=1}^N \sqrt{\frac{(\Lambda p)^0_i}{p^0_i}}\exp(i\sigma_i \theta(\Lambda,p_i))\Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_1,\sigma_1,n_1)}\otimes \cdots\otimes \Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_N,\sigma_N,n_N)}. 不难检验,此时多粒子态也拥有相同的表示。

现在,我们给出多粒子的相对论量子力学应该满足的公理(实验事实):

单粒子量子力学基本假设。

全同粒子假设: Ψ,qn,,qn,\Psi_{\cdots,q_n,\cdots,q'_n,\cdots}Ψ,qn,,qn,\Psi_{\cdots,q'_n,\cdots,q_n,\cdots} 处于同一个ray中。

集团分解原理:足够分开的实验应该产生独立的结果。

下面,让我们首先关注粒子的统计。

粒子统计

在进行粒子统计之前,我们首先对零质量粒子多说一句话:零质量粒子的 helicity 来自于 U(1)\operatorname{U}(1) 的幺正表示( little group 要比这大一些,但因为有两个连续指标暂时并没有实验上的证据说明它们存在,所以这里考虑 U(1)\operatorname{U}(1) )。 U(1)\operatorname{U}(1) 的幺正不可约表示一定具有形式 exp(iθ)exp(inθ)\exp(i\theta)\to \exp(in\theta) ,其中 nn 可以为任意整数。这里的 nn 对应于 2σ2\sigma ,是两倍的 J3J_3 的本征值,故 σ\sigma 只可能为整数或者半整数,这就是零质量粒子的 helicity.

需要注意的是,如果不含时空反演,Lorentz 群并不提供改变 helicity 的方式,即这是一个标量。所以按照粒子分类的一般精神,不同 helicity 的粒子应该认为是不同粒子,虽然它们确实有可能相同。特别地,helicity 分别为 σ\sigmaσ-\sigma 的粒子也可能是不同的。 所以,对零质量全同粒子体系,我们这里应当认为它们的 helicity 都是相同的。

Lemma 1. 对称群 SNS_N 的一维表示只有两种,一种是平凡表示,一种是 sign:τsign(τ)\operatorname{sign}:\tau\mapsto \operatorname{sign}(\tau) .

Proof.ρ\rho 是一个一维表示,对两两置换 σ\sigma ,我们一定有 ρ(σ)=±1\rho(\sigma)=\pm 1 ,再由对称群中元素可以有两两置换生成,所以任取 σSN\sigma\in S_N ,都有 ρ(σ)=±1\rho(\sigma)=\pm 1 .如果任取两两置换 σ\sigma ,都有 ρ(σ)=1\rho(\sigma)=1 ,则这是平凡表示,因为两两置换生成整个对称群。否则,存在一个 σ\sigma 使得 ρ(σ)=1\rho(\sigma)=-1 . 注意到恒等式 ρ[(τ(i)τ(j))]=ρ[τ(ij)τ1]=ρ[(ij)], \rho[(\tau(i)\tau(j))]=\rho[\tau (ij)\tau^{-1}]=\rho[(ij)], 其中 τ\tauSNS_N 中的任意置换。所以 ρ\rho 作用在任意的两两置换上都是 1-1 ,这就是表示 sign:τsign(τ)\operatorname{sign}:\tau\mapsto \operatorname{sign}(\tau) .

考虑 NN 个自由全同粒子,再考虑一个置换 τSN\tau\in S_N . 从全同粒子假设,我们应该有 Ψqτ(1),,qτ(N)=ατ(q1,,qN)Ψq1,,qN. \Psi_{q_{\tau(1)},\dots,q_{\tau(N)}}=\alpha_\tau(q_1,\dots,q_N)\Psi_{q_1,\dots,q_N}. 如果有两个置换 τ\tau , ξSN\xi\in S_N ,那么不难看到复合公式 ατξ(q1,,qN)=ατ(qξ(1),,qξ(N))αξ(q1,,qN) \alpha_{\tau\xi}(q_1,\dots,q_N)=\alpha_{\tau}(q_{\xi(1)},\dots,q_{\xi(N)})\alpha_{\xi}(q_1,\dots,q_N) 成立。

考虑一个特别特殊的例子,此时 q1=q2==qN=qq_1=q_2=\cdots=q_N=q ,那么复合公式告诉我们 τατ\tau \mapsto \alpha_\tau 构成了一个 SNS_N 的一维表示,所以 τ=±1\tau=\pm 1 . 稍微一般些,设 AA{1,,N}\{1,\dots,N\} 的一个子集,对应的 {qi:iA}\{q_i\,:\,i\in A\} 都相同,则保持 AA 不变的置换构成了 SNS_N 的一个子群 SAS_A ,它同构于对称群 SNAS_{N-|A|} ,按照复合公式, τατ\tau \mapsto \alpha_\tau 构成了 SAS_A 的一个一维表示,所以对 τSA\tau \in S_A ,我们也有 ατ=±1\alpha_\tau=\pm 1 . 通过认为 αr\alpha_r 是一个动量的连续函数,我们可以认为 αr=±1\alpha_r=\pm 1 不依赖于动量,但即使如此我们也无法断言这些 αr=±1\alpha_r=\pm 1 是否依赖于自旋,比如自旋为电子在自旋为 1/21/2 或者 1/2-1/2 可能会得到不同的 ατ\alpha_\tau .

此外,如果我们这里考虑的, NN 个粒子的动量都并不完全相同,则 τατ\tau \mapsto \alpha_\tau 此时不是 SNS_N 的一个一维表示。那么是否有 αr=±1\alpha_r=\pm 1 都不得而知,更别说判断 αr\alpha_r 是否依赖于动量了。

Lemma 2. 对有质量粒子的 little group ,任取 RSU(2)R\in \operatorname{SU}(2) ,我们有 W(R,p)=RW(R,p)=R .

证明见 Weinberg 第2.5节。

下面一个定理是本文的主要结论,它排除 ατ\alpha_\tau 对自旋的依赖(零质量粒子不需要担心这个),并且给出了其对动量依赖的形式。

Theorem 3.考虑 NN 个自由全同粒子组成系统,则 ατ\alpha_\tau 仅为所有 pipjp_i\cdot p_j 的函数,其中 pip_i 为第 ii 个粒子的 44 -动量。

Proof. 在多粒子态 Ψq1,,qN\Psi_{q_1,\dots,q_N} 中,原则上可能存在 qi=qjq_i=q_j 的情况,所以,方便起见,可以适当重排,假设序列 q1q_1 , \dots , qNq_N 满足条件:如果 qi=qjq_i=q_j ,则对任意的 ikji\leq k\leq j 都有 qk=qi=qjq_k=q_i=q_j . 换而言之,我们将完全相同的粒子(不仅种类,整个状态都是)放到了一起。 考虑Lorentz变换 Λ\Lambda 在态上的作用, U0(Λ)Ψqτ(1),=ατ(q1,)U0(Λ)Ψq1,. U_0(\Lambda)\Psi_{q_{\tau(1)},\dots}=\alpha_\tau(q_1,\dots)U_0(\Lambda)\Psi_{q_1,\dots}. 下面我们对质量进行分类讨论。 对无质量粒子,利用 little group 的表示,打开两边就得到了(注意这里并没有helicity的指标) ΨΛpτ(1),=ατ(p1,)ΨΛp1,, \Psi_{\Lambda \mathbf{p}_{\tau(1)},\dots}=\alpha_\tau(\mathbf{p}_1,\dots)\Psi_{\Lambda \mathbf{p}_1,\dots}, 再利用 ΨΛpτ(1),=ατ(Λp1,)ΨΛp1,, \Psi_{\Lambda \mathbf{p}_{\tau(1)},\dots}=\alpha_\tau(\Lambda \mathbf{p}_1,\dots)\Psi_{\Lambda \mathbf{p}_1,\dots}, 于是 ατ(p1,)=ατ(Λp1,). \alpha_\tau(\mathbf{p}_1,\dots)=\alpha_\tau(\Lambda \mathbf{p}_1,\dots). 所以 αr\alpha_r 现在是标量,它只能是 {pipj:ij}\{p_i\cdot p_j\,:\, i\neq j\} ,这些是我们唯一可以通过动量构造的标量。对于 i=ji=j 的情况, pipi=m2p_i\cdot p_i=-m^2 ,我们可以认为这是关于粒子种类的指标,所以暂时不予考虑。 对有质量粒子,利用 little group 的表示,打开两边得到(这里的 jij_i 都是相同的,所以就略去了) ατ(q1,)σi=1NDσiσi(Wi)Ψ(Λp1,σ1),=σi=1NDσiσi(Wi)Ψ(Λpτ(1),στ(1)), \alpha_\tau(q_1,\dots)\sum_{\sigma'}\prod_{i=1}^N D_{\sigma_i'\sigma_i}(W_i)\Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_1,\sigma'_1),\dots}=\sum_{\sigma'}\prod_{i=1}^N D_{\sigma_i'\sigma_i}(W_i)\Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_{\tau(1)},\sigma'_{\tau(1)}),\dots} 换句话说 ατ(q1,)σi=1NDσiσi(Wi)Ψ(Λp1,σ1),=σi=1NDσiσi(Wi)ατ(Λq1,)Ψ(Λp1,σ1),,(1) \alpha_\tau(q_1,\dots)\sum_{\sigma'}\prod_{i=1}^N D_{\sigma_i'\sigma_i}(W_i)\Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_1,\sigma'_1),\dots}=\sum_{\sigma'}\prod_{i=1}^N D_{\sigma_i'\sigma_i}(W_i)\alpha_\tau(\Lambda q'_1,\dots)\Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_{1},\sigma'_{1}),\dots},\tag{1} 我们现在选取 ΛSU(2)\Lambda\in \operatorname{SU}(2) ,对有质量粒子,Lemma 2 告诉我们 W(R,p)=RW(R,p)=R 并不依赖于 pp . 所以式 (1) 中的 WiW_i 也都等于 RR ,即 ατ(q1,)σi=1NDσiσi(R)Ψ(Rp1,σ1),=σi=1NDσiσi(R)ατ(Rq1,)Ψ(Rp1,σ1),, \alpha_\tau(q_1,\dots)\sum_{\sigma'}\prod_{i=1}^N D_{\sigma_i'\sigma_i}(R)\Psi_{(R \mathbf{p}_1,\sigma'_1),\dots}=\sum_{\sigma'}\prod_{i=1}^N D_{\sigma_i'\sigma_i}(R)\alpha_\tau(R q'_1,\dots)\Psi_{(R \mathbf{p}_{1},\sigma'_{1}),\dots}, 现在,取变换 R=exp(iωJ)R=\exp(i\omega J) ,其中 Jsu(2)J\in \mathfrak{su}(2) ,当 ω\omega 很小的时候 Dσiσi(R)=δσiσi+iωD(J)σiσi, D_{\sigma_i'\sigma_i}(R)=\delta_{\sigma_i'\sigma_i}+i\omega D(J)_{\sigma_i'\sigma_i}, 以及 i=1NDσiσi(R)=i=1Nδσiσi+i=1NiωD(J)σiσiδσ1σ1δσiσiundefinedδσNσN, \prod_{i=1}^N D_{\sigma_i'\sigma_i}(R)=\prod_{i=1}^N \delta_{\sigma_i'\sigma_i}+\sum_{i=1}^Ni\omega D(J)_{\sigma_i'\sigma_i}\delta_{\sigma_1'\sigma_1}\cdots \widehat{\delta_{\sigma_i'\sigma_i}}\cdots \delta_{\sigma_N'\sigma_N}, 代入并取出 ω\omega 的一阶项可以得到 ατ(q1,)i=1NσiD(J)σiσiΨσi0=i=1NσiD(J)σiσiατ(q1,,qi,,qN)Ψσi0+CJ(q1,)Ψq1,, \alpha_\tau(q_1,\dots)\sum_{i=1}^N \sum_{\sigma_i'}D(J)_{\sigma'_i \sigma_i}\Psi_{\sigma'_i}^0=\sum_{i=1}^N\sum_{\sigma_i'}D(J)_{\sigma'_i \sigma_i}\alpha_\tau(q_1,\dots,q'_i,\dots,q_N)\Psi_{\sigma'_i}^0+C_J(q_1,\cdots) \Psi_{q_1,\dots}, 其中 Ψσi0=Ψq1,,qi,,qN\Psi_{\sigma'_i}^0=\Psi_{ q_1,\dots, q_i',\dots, q_N} ,而 CJ(q1,)C_J(q_1,\cdots) 来自于 α(Rq1,)\alpha(Rq_1,\dots) 关于 ω\omega 的级数展开的一阶项,具体形式在这里并不重要。 取升降算符 J±J_\pm ,设我们现在考虑的全同粒子的最高自旋为 jj ,则具体的矩阵元为 D(J±)σσ=δσ,(σ±1)(jσ)(j±σ+1)=δσ,(σ±1)(A±)σj, D(J_\pm)_{\sigma'\sigma}=\delta_{\sigma',(\sigma\pm 1)}\sqrt{(j\mp\sigma)(j\pm\sigma+1)}=\delta_{\sigma',(\sigma\pm 1)}(A_\pm)^j_\sigma, ατ(q1,)i=1N(A±)σijΨσi±10=i=1N(A±)σijατ(q1,,qi±1,,qN)Ψσi±10+CJ±(q1,)Ψq1,. \alpha_\tau(q_1,\dots)\sum_{i=1}^N (A_\pm)^j_{\sigma_i}\Psi_{\sigma_i\pm 1}^0=\sum_{i=1}^N (A_\pm)^j_{\sigma_i}\alpha_\tau(q_1,\dots,q_i\pm 1,\dots,q_N)\Psi_{\sigma_i\pm 1}^0+C_{J_\pm}(q_1,\cdots) \Psi_{ q_1,\dots}. 由于 (q1,)( q_1,\dots) 永远不是 (q1,,qi±1,,qN)( q_1,\dots, q_i\pm 1,\dots, q_N) 的一个排列,所以 Ψq1,\Psi_{ q_1,\dots}Ψσi±10\Psi_{\sigma_i\pm 1}^0 正交,也就线性无关,故上式给出 CJ±(q1,)=0C_{J_\pm}(q_1,\cdots)=0 且 我们有 ατ(q1,)i=1N(A±)σijΨσi±10=i=1N(A±)σijατ(q1,,qi±1,,qN)Ψσi±10.(2) \alpha_\tau(q_1,\dots)\sum_{i=1}^N (A_\pm)^j_{\sigma_i}\Psi_{\sigma_i\pm 1}^0=\sum_{i=1}^N (A_\pm)^j_{\sigma_i}\alpha_\tau(q_1,\dots,q_i\pm 1,\dots,q_N)\Psi_{\sigma_i\pm 1}^0. \tag{2} 下面我们主要分析式(2). 如果 qiqjq_i\neq q_j ,不难看到, Ψσi±10\Psi_{\sigma_i\pm 1}^0Ψσj±10\Psi_{\sigma_j\pm 1}^0 正交。相互正交的矢量是线性无关的,所以我们可以把上式拆开来,变成几个形如 ατ(q1,)i=rs(A±)σijΨσi±10=i=rs(A±)σijατ(q1,,qi±1,,qN)Ψσi±10 \alpha_\tau(q_1,\dots)\sum_{i=r}^s (A_\pm)^j_{\sigma_i}\Psi_{\sigma_i\pm 1}^0=\sum_{i=r}^s (A_\pm)^j_{\sigma_i}\alpha_\tau(q_1,\dots,q_i\pm 1,\dots,q_N)\Psi_{\sigma_i\pm 1}^0 的等式,其中 r<sr<s ,根据我们的假设,对 rksr\leq k \leq s ,我们有 qk=qr=qsq_k=q_r=q_s ,即粒子状态完全相同。特别地,如果 s=rs=r ,即没有与其相同状态的粒子的时候,则 ατ(q1,,qN)(A±)σrjΨσr±10=ατ(q1,,qr±1,,qN)(A±)σrjΨσr±10.(3) \alpha_\tau(q_1,\dots,q_N)(A_\pm)^j_{\sigma_r}\Psi_{\sigma_r\pm 1}^0=\alpha_\tau(q_1,\dots,q_r\pm 1,\dots,q_N)(A_\pm)^j_{\sigma_r}\Psi_{\sigma_r\pm 1}^0.\tag{3} jσr<j-j \leq \sigma_r< j(A+)σrj0(A_+)^{j}_{\sigma_r}\neq 0 ,这意味着 ατ(q1,,qr+1,,qN)=ατ(q1,,qN) \alpha_\tau(q_1,\dots,q_r+1,\dots,q_N)=\alpha_\tau(q_1,\dots,q_N) 成立。通过这个递推关系,我们可以一路把 σr\sigma_r 推到最高自旋 jj ,而 ατ\alpha_\tau 并不改变,所以 ατ\alpha_\tau 其实不依赖于 σr\sigma_r . 现在,我们来讨论 s>rs>r 的情况,方便起见,可以假设 r=1r=1s=Ns=N 的情况,同时自旋都并不处于最高自旋 jj . 此时,记这些粒子都具有状态 qq ,自旋 σ\sigma . 首先,由于所有的 qiq_i 都相同,所以所有的 σi\sigma_i 也相同, (A±)σij(A_\pm )^{j}_{\sigma_i} 也是,对 jσr<j-j \leq \sigma_r< j ,有 i=1Nατ(q,,q±1,,q)Ψq,,q±1,,q=ατ(q,,q)i=1NΨq,,q±1,,q \sum_{i=1}^N \alpha_\tau(q,\dots,q\pm 1,\dots,q)\Psi_{q,\dots,q\pm 1,\dots,q}=\alpha_\tau(q,\dots,q)\sum_{i=1}^N \Psi_{q,\dots,q\pm 1,\dots,q} 这里的求和是对第 ii 位置的求和。对 Ψq,,q+1,,q\Psi_{q,\dots,q+1,\dots,q} 我们再一次应用式 (2) ,然后重复下面的逻辑,可以发现,由于 q+1qq+1\neq q 且只有一个,所以式 (3) 给出了 ατ(q,,q+1,,q)(A)σ+1jΨq,,q=ατ(q1,,qN)(A)σ+1jΨq,,q, \alpha_\tau(q,\dots,q+ 1,\dots,q)(A_-)^j_{\sigma+1}\Psi_{q,\dots,q}=\alpha_\tau(q_1,\dots,q_N)(A_-)^j_{\sigma+1}\Psi_{q,\dots,q}, 所以 ατ(q,,q+1,,q)=ατ(q,,q)\alpha_\tau(q,\dots,q+ 1,\dots,q)=\alpha_\tau(q,\dots,q) . 此即所需。 最后,我们回到 ατ(q1,)σi=1NDσiσi(Wi)Ψ(Λp1,σ1),=σi=1NDσiσi(Wi)ατ(Λq1,)Ψ(Λp1,σ1),, \alpha_\tau(q_1,\dots)\sum_{\sigma'}\prod_{i=1}^N D_{\sigma_i'\sigma_i}(W_i)\Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_1,\sigma'_1),\dots}=\sum_{\sigma'}\prod_{i=1}^N D_{\sigma_i'\sigma_i}(W_i)\alpha_\tau(\Lambda q'_1,\dots)\Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_{1},\sigma'_{1}),\dots}, 由于 ατ\alpha_\tau 不依赖于任意自旋,所以 ατ(q1,)σi=1NDσiσi(Wi)Ψ(Λp1,σ1),=ατ(Λq1,)i=1NσDσiσi(Wi)Ψ(Λp1,σ1),, \alpha_\tau(q_1,\dots)\sum_{\sigma'}\prod_{i=1}^N D_{\sigma_i'\sigma_i}(W_i)\Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_1,\sigma'_1),\dots}=\alpha_\tau(\Lambda q_1,\dots)\prod_{i=1}^N \sum_{\sigma'}D_{\sigma_i'\sigma_i}(W_i)\Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_{1},\sigma'_{1}),\dots}, 两个系数应该相同,所以 ατ(Λq1,)=ατ(q1,). \alpha_\tau(\Lambda q_1,\dots)=\alpha_\tau(q_1,\dots). 类似于无质量粒子的讨论, αr\alpha_r 只能是 {pipj:ij}\{p_i\cdot p_j\,:\, i\neq j\} 的函数。

Proposition 4. 对任意置换 τSN\tau\in S_N ,如果 ατ\alpha_\tau 只依赖于 τ\tau 置换的粒子的动量,则任取 ξSN\xi\in S_N , αξ\alpha_\xi 不依赖于动量, τατ\tau\mapsto\alpha_\tau 构成 SNS_N 的一个一维表示。

从物理上来看, ατ\alpha_\tau 只依赖于 τ\tau 置换的粒子的动量是一个很容易理解的要求。我们不可能希望,当我们在地球上想办法交换两个电子,实验结果却可能依赖于现在还看不到的一次超新星爆发。这也是集团分解原理的精神。

Proof.τ\tau 是一个两两置换,交换的两个粒子的动量为 p1p_1p2p_2 ,由假设, ατ\alpha_{\tau} 只依赖于 p1p2p_1\cdot p_2 . 注意到 p1p2=p2p1p_1\cdot p_2=p_2\cdot p_1 ,所以 ατ(p2p1)=ατ(p1p2). \alpha_{\tau}(p_2\cdot p_1)=\alpha_{\tau}(p_1\cdot p_2). 现在从 τ2=1\tau^2=1 以及复合公式, 1=ατ(p1p2)ατ(p2p1)=ατ(p1p2)2, 1=\alpha_{\tau}(p_1\cdot p_2)\alpha_{\tau}(p_2\cdot p_1)=\alpha_{\tau}(p_1\cdot p_2)^2, ατ(p1p2)=±1\alpha_{\tau}(p_1\cdot p_2)=\pm 1 . 由于 ατ\alpha_\tau 是动量的连续函数,所以它并不依赖于任何 p1p2p_1\cdot p_2 ,即 ατ\alpha_{\tau} 就是一个常数,不依赖动量,也不依赖于自旋。 由于所有置换都是两两置换复合得到的,利用复合公式,任意的 ατ\alpha_\tau 我们都已经求得了,为 ±1\pm 1 . 而复合公式写作 αταξ=ατξ\alpha_\tau \alpha_\xi =\alpha_{\tau \xi} ,即 ατ\alpha_\tau 构成 SNS_N 的一个一维表示。

有了这个结论,再注意到 SNS_N 只有两种一维表示,我们现在给出费米子和玻色子的定义:如果全同粒子系统在置换下是平凡表示,则称我们处理的粒子是玻色子,否则称之为费米子。

Buwai Lee

Buwai Lee

交换图都不会画的魔法师